Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm Max $P=xy+yz+zx+\frac{1}{2}\left [ x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2 \right ]$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Cho $x,y,z\in \mathbb{R}$ thỏa $x^2+y^2+z^2=1$.Tìm Max:

$P=xy+yz+zx+\frac{1}{2}\left [ x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2 \right ]$



#2
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

Cho $x,y,z\in \mathbb{R}$ thỏa $x^2+y^2+z^2=1$.Tìm Max:

$P=xy+yz+zx+\frac{1}{2}\left [ x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2 \right ]$

$P=LHS\leqslant \sum xy+\frac{1}{2}\sum (y-z)^2=\sum x^2=1$



#3
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

$P=LHS\leqslant \sum xy+\frac{1}{2}\sum (y-z)^2=\sum x^2=1$

Anh ơi cho em hỏi LHS là sao vậy anh



#4
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

Anh ơi cho em hỏi LHS là sao vậy anh

Là vế trái đó em



#5
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Ta có: $xy+yz+zx+\frac{1}{2}[x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2]=xy+yz+zx+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 -x^2yz-xy^2z-xyz^2=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+yz(1-x^2)+zx(1-y^2)+xy(1-z^2)=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+yz(y^2+z^2)+zx(z^2+x^2)+xy(x^2+y^2)\leqslant x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+\frac{y^2+z^2}{2}(y^2+z^2)+\frac{z^2+x^2}{2}(z^2+x^2)+\frac{x^2+y^2}{2}(x^2+y^2)=\frac{2(x^4+y^4+x^4+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2))}{2}= \frac{2(x^2+y^2+z^2)^2}{2}=1$

 

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$ hoặc $x=y=z=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ 


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh