Chủ đề này có 1 trả lời

[Belphegor Varia]

$\bullet$ (Rusia 1997) : Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ sao cho $p^3-q^5=(p+q)^2$

[khanghaxuan]

$\bullet$ (Rusia 1997) : Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ sao cho $p^3-q^5=(p+q)^2$

Bài này mình đi theo đường mòn là xét từng TH rồi nhận xét thôi

TH1 : $p=2\rightarrow 8-q^{5}=(2+q)^{2}\rightarrow q^{5}+q^{2}+4q=4$

Điều này vô lý vì : $q^{5}+q^{2}+4q\geq 2^{5}+2^{2}+4.2>4$

TH2 : $q=2\rightarrow p^{3}-32=(p+2)^{2}\rightarrow p^{3}-p^{2}-4p-36=0$ (vô lí vì $p$ nguyên dương )

Giả sử $p$ và $q$ đều lớn hơn 3 hay $p,q>3$ thì : $\left\{\begin{matrix} p\equiv 1,2(mod 3) & \\ q\equiv 1,2(mod 3) & \end{matrix}\right.$

  a) Nếu $3|p-q$ thì $p+q$ không chia hết cho 3 và $p^{3}-q^{5}$ chia hết cho 3 nên vô lý

  b) Nếu $p-q$ không chia hết cho 3 thì $p+q$ chia hết cho 3 và $p^{3}-q^{5}$ không chia hết  cho 3 nên vô lý 

Do đó ta có : hoặc $p=3$ hoặc $q=3$ . Từ đó tìm ra nghiệm là : $(p;q)=(7;3)$