$\bullet$ (Rusia 1997) : Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ sao cho $p^3-q^5=(p+q)^2$
#2
Đã gửi 24-08-2015 - 15:15
$\bullet$ (Rusia 1997) : Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ sao cho $p^3-q^5=(p+q)^2$
Bài này mình đi theo đường mòn là xét từng TH rồi nhận xét thôi
TH1 : $p=2\rightarrow 8-q^{5}=(2+q)^{2}\rightarrow q^{5}+q^{2}+4q=4$
Điều này vô lý vì : $q^{5}+q^{2}+4q\geq 2^{5}+2^{2}+4.2>4$
TH2 : $q=2\rightarrow p^{3}-32=(p+2)^{2}\rightarrow p^{3}-p^{2}-4p-36=0$ (vô lí vì $p$ nguyên dương )
Giả sử $p$ và $q$ đều lớn hơn 3 hay $p,q>3$ thì : $\left\{\begin{matrix} p\equiv 1,2(mod 3) & \\ q\equiv 1,2(mod 3) & \end{matrix}\right.$
a) Nếu $3|p-q$ thì $p+q$ không chia hết cho 3 và $p^{3}-q^{5}$ chia hết cho 3 nên vô lý
b) Nếu $p-q$ không chia hết cho 3 thì $p+q$ chia hết cho 3 và $p^{3}-q^{5}$ không chia hết cho 3 nên vô lý
Do đó ta có : hoặc $p=3$ hoặc $q=3$ . Từ đó tìm ra nghiệm là : $(p;q)=(7;3)$
- Belphegor Varia và MiuraHaruma thích
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: number theory
Cửa sổ Diễn Đàn Toán Học →
Mathematics in English →
Prove that we always can find positive integer $m$ such thatBắt đầu bởi Ego, 18-04-2016 number theory |
|
|||
Cửa sổ Diễn Đàn Toán Học →
Mathematics in English →
Find all $a_1,a_2,a_3$ such that $a_n$ is square of integer for all $n\in \mathbb{Z}^+$Bắt đầu bởi ThEdArKlOrD, 15-04-2016 number theory, sequence |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\gcd (n,1)+ \gcd (n,2)+ \cdots + \gcd (n,n) = 3n-3.$Bắt đầu bởi Zaraki, 08-02-2016 number theory, số học, gcd |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\tau (n^2)=k\tau (n)$Bắt đầu bởi Belphegor Varia, 16-08-2015 number theory |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$m^2+n^2+p^2-2mn-2np-2pm$ là số chính phương không phụ thuộc vào $p$.Bắt đầu bởi duongduong352481980, 16-08-2015 number theory, số học |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh