Chủ đề này có 2 trả lời

[VuHongQuan]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $\frac{a^2}{bc}=\frac{b+2c}{4b-c}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 

$P=\frac{a}{\sqrt{a^2+2b^2+c^2}}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

[Chuyen Toan 2k]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $\frac{a^2}{bc}=\frac{b+2c}{4b-c}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 

$P=\frac{a}{\sqrt{a^2+2b^2+c^2}}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

 áp dụng cô-si ta có : $\frac{a^2}{bc}=\frac{b+2c}{4b-c}$ <=> 4a^2b=c(a^2+b^2)+2bc^2>= 2abc+2bc^2<=> a>=c

Lại có : a/căn(a^2+2b^2+c^2)=a^2/căn(a^4+2a^2b^2+a^2c^2)<= a^2/căn(a^2+a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)=a^2/căn((a^2+b^2)(a^2+c^2))

áp dụng bu-nhi-a-cốp-xki ta có căn((a^2+b^2)(a^2+c^2))>= a^2+bc

nên a/căn(a^2+2b^2+c^2)<= a^2/(a^2+bc)

ta chứng minh với xy<=1 thì 1/(1+x^2)+1/(1+y^2)<= 2/(1+xy) <=> (x-y)^2(1-xy)>=0 đúng

đưa về một biến t=a/c là đạo hàm được rồi   

[haycuoi]

 

Em xin gõ lại cho dễ nhìn với lại em cũng chưa hiểu khúc cuối lắm:

Ta có: $\displaystyle4a^2b=c(a^2+b^2)+2bc^2\ge 2abc+2bc^2\iff 2a^2-ac-c^2\ge0\iff 2\left (\frac ac  \right )^2-\frac ac-1\ge 0\iff a\ge c$

Do đó $\displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2+2b^2+c^2}}=\frac{a^2}{\sqrt{a^4+2a^2b^2+a^2c^2}}\le\frac{a^2}{\sqrt{a^4+a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2}}=\frac{a^2}{\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}}$

Mà theo BĐT Bunyakovsky $\displaystyle\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\ge a^2+bc$

Suy ra $\displaystyle\frac a{\sqrt{a^2+2b^2+c^2}}\le \frac{a^2}{a^2+bc}=\frac{1}{1+\frac{bc}{a^2}}$

Ta chứng minh được $\forall xy\ge1$ thì $\displaystyle\frac1{1+x^2}+\frac1{1+y^2}\le\frac2{1+xy}\iff(x-y)^2(1-xy)\ge0,\forall xy\le 1$

Với $\frac ca\le 1$ ta có:

$\displaystyle P=\frac{a}{\sqrt{a^2+2b^2+c^2}}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\le\frac{a^2}{a^2+bc}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

$=\frac{1}{1+\frac{bc}{a^2}}+\frac{1}{1+\frac cb}+\frac{c}{c+a}\le\frac{2}{1+\frac ca}+\frac{\frac ca}{\frac ca+1}$

Đặt $t=\frac ca\le 1$:

$P\le \frac{2+t}{1+t}\le 1+\frac1{1+t}$ ??? Đến đây rồi sao nữa ạ !