Cho tứ giác $ABCD$ và $AD=CD$, $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}$. $M$ là trung điểm $BC$. $DM$ cắt $AB$ tại $E$.
Chứng minh rằng: $\widehat{BEC}=\widehat{DAC}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 24-08-2015 - 21:32
Cho tứ giác $ABCD$ và $AD=CD$, $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}$. $M$ là trung điểm $BC$. $DM$ cắt $AB$ tại $E$.
Chứng minh rằng: $\widehat{BEC}=\widehat{DAC}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 24-08-2015 - 21:32
$\boxed{\textrm{Silence is the peak of contempt!}}$
If you see this, you will visit my facebook.....!
Bài này lâu rồi mà chưa ai làm nhỉ
$DA$ cắt $BC$ tại $X$. Gọi $(I)$ là đường tròn nội tiếp tam giác $XDC$. Gọi $N,P$ là tiếp điểm của $(I)$ trên $DC$ và $DX$
Đặt $DC=x, DX=c,CX=d$
Ta có: $DC=DA=x$ suy ra $XA=DX-DA=c-x$
Vì $\widehat{DAB}= \widehat{ABC}$ nên $\widehat{XAB}= \widehat{XBA}$ suy ra $XB=XA=c-x$
Do đó $BC=XC-XB=d+x-b$ suy ra $CM=\frac{d+x-b}{2}=CN$ (Vì $N$ là tiếp điểm của $(I)$ trên $DC$). Suy ra $M$ là tiếp điểm của $(I)$ trên $CX$.
Gọi $G$ là giao điểm của $DI$ và $AC$. Vì tam giác $DCA$ cân tại $D$ nên có $DI$ vừa là đường phân giác vừa là đường cao.
Do đó $DG \perp GC$. Gọi $G'$ là giao điểm của $DI$ và$PM$. Theo tính chất của đường tròn nội tiếp thì $\widehat{DG'C}=90^o$. Suy ra $G \equiv G'$ hay $DI,CA,PM$ đồng quy tại $G$
Hai tam giác $XAB$ và $XPM$ đều cân tại $X$ và có: $\widehat{AXB}=\widehat{PXM}$ nên ta dễ dàng chứng minh được $AB \parallel PM$. Suy ra $\widehat{AED}=\widehat{PMD}$ $(1)$
Áp dụng định lý $Thales$ ta có: $\frac{DM}{DE}=\frac{DP}{DA}=\frac{DN}{DC}$ (vì $DN=DP,DC=DA$)
Theo định lý $Thales$ đảo thì $MN \parallel CE$ suy ra $\widehat{DMN}=\widehat{DEC}$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\widehat{PMN}=\widehat{AEC}$ $(3)$
Ta có: $\widehat{DAC}=\frac{180^o-\widehat{XDC}}{2}$
Lại có: $\widehat{PMN}=180^o-\widehat{XMP}-\widehat{CMN}=180^o-\frac{180^o-\widehat{DXC}}{2}-\frac{180^o-\widehat{XCD}}{2}=\frac{180^o-\widehat{XDC}}{2}=\widehat{DAC}$ $(4)$
Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra $\widehat{BEC}=\widehat{DAC}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 26-09-2015 - 23:43
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh