Chủ đề này có 5 trả lời

[chatditvit]

Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR: $a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a+b)^2> a^3+b^3+c^3$

[Silverbullet069]

Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR: $a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a+b)^2> a^3+b^3+c^3$

Già sử : $a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a+b)^2> a^3 + b^3 + c^3$ (lời giải từ books.google.com)
$\Leftrightarrow a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a+b)^2 - a^3 - b^3 - c^3 > 0$
$\Leftrightarrow a[(b - c)^2 - a^2] + b[(c - a)^2 - b^2] + c[(a + b)^2 - c^2] > 0$
$\Leftrightarrow a(b - c - a)(b - c + a) + b(c - a - b)(c - a + b) + c(a + b - c)(a + b + c) > 0$
$\Leftrightarrow (a + b - c)(ab - ac - a^2 - bc - b^2 + ab + ac + bc + c^2) > 0$
$\Leftrightarrow (a + b - c)(c^2 - a^2 - b^2 + 2ab) > 0$
$\Leftrightarrow (a + b - c)[c^2 - (a - b)^2] > 0$
$\Leftrightarrow (a + b - c)(c - a + b)(c + a - b) > 0$

$\Leftrightarrow (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) > 0$

Áp dụng BĐT $\Delta$, ta có :

$a + b > c \Rightarrow a + b - c > 0$

$b + c > a \Rightarrow b + c - a > 0$

$c + a > b \Rightarrow c + a - b > 0$

$\Rightarrow (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) > 0$

$\Rightarrow$ già sử đúng

$\Rightarrow a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2> a^3+b^3+c^3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 28-08-2015 - 21:19

[lethutang7dltt]

Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR: $a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a+b)^2> a^3+b^3+c^3$

 

Già sử : $a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2> a^3 + b^3 + c^3$ (lời giải từ books.google.com)
$\Leftrightarrow a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2 - a^3 - b^3 - c^3 > 0$
$\Leftrightarrow a[(b - c)^2 - a^2] + b[(c - a)^2 - b^2] + c[(a - b)^2 - c^2] > 0$
$\Leftrightarrow a(b - c - a)(b - c + a) + b(c - a - b)(c - a + b) + c(a - b - c)(a - b + c) > 0$
$\Leftrightarrow (a + b - c)(ab - ac - a^2 - bc - b^2 + ab + ac + bc + c^2) > 0$
$\Leftrightarrow (a + b - c)(c^2 - a^2 - b^2 + 2ab) > 0$
$\Leftrightarrow (a + b - c)[c^2 - (a - b)^2] > 0$
$\Leftrightarrow (a + b - c)(c - a + b)(c + a - b) > 0$

$\Leftrightarrow (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) > 0$

Áp dụng BĐT $\Delta$, ta có :

$a + b > c \Rightarrow a + b - c > 0$

$b + c > a \Rightarrow b + c - a > 0$

$c + a > b \Rightarrow c + a - b > 0$

$\Rightarrow (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) > 0$

$\Rightarrow$ già sử đúng

$\Rightarrow a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2> a^3+b^3+c^3$

???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethutang7dltt: 28-08-2015 - 16:03

[Silverbullet069]

 

Ủa, sao vậy bạn, mình coi BPT là đúng rồi c/m nó đúng thôi mà ?

[CaptainCuong]

Già sử : $a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2> a^3 + b^3 + c^3$ (lời giải từ books.google.com)
$\Leftrightarrow a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2 - a^3 - b^3 - c^3 > 0$
$\Leftrightarrow a[(b - c)^2 - a^2] + b[(c - a)^2 - b^2] + c[(a - b)^2 - c^2] > 0$
$\Leftrightarrow a(b - c - a)(b - c + a) + b(c - a - b)(c - a + b) + c(a - b - c)(a - b + c) > 0$
$\Leftrightarrow (a + b - c)(ab - ac - a^2 - bc - b^2 + ab + ac + bc + c^2) > 0$
$\Leftrightarrow (a + b - c)(c^2 - a^2 - b^2 + 2ab) > 0$
$\Leftrightarrow (a + b - c)[c^2 - (a - b)^2] > 0$
$\Leftrightarrow (a + b - c)(c - a + b)(c + a - b) > 0$

$\Leftrightarrow (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) > 0$

Áp dụng BĐT $\Delta$, ta có :

$a + b > c \Rightarrow a + b - c > 0$

$b + c > a \Rightarrow b + c - a > 0$

$c + a > b \Rightarrow c + a - b > 0$

$\Rightarrow (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) > 0$

$\Rightarrow$ già sử đúng

$\Rightarrow a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2> a^3+b^3+c^3$

Sao ra được dòng đỏ vậy bạn

[Silverbullet069]

Sao ra được dòng đỏ vậy bạn

a(b - c - a)(b - c + a) + b(c - a - b)(c - a + b) + c(a + b - c)(a + b + c)

= a(b - c - a)(a + b - c) - b(a + b - c)(c - a + b) + c(a - b - c)(a - b + c)

= (a + b - c)[a(b - c - a) - b(c - a + b) + c(a - b - c)]

= (a + b - c)(ab - ac - a^2 - bc + ab - b^2 + ac - bc - c^2)

P/s : cứ tưởng đề sai, đã sửa lại.