Cho hình vuông $ABCD$.Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$ bất kì, $AM$ cắt $CD$ tại $N$. Hai đường chéo hình vuông cắt nhau tại $O$, $OM$ cắt $BN$ tại $P$. Chứng minh rằng $CP$ vuông góc với $BN$.
Hv $ABCD$ tâm, $M \in BC, AM \cap CD =N$. $OM \cap BN =P$. C/m $CP \perp BN$
#1
Đã gửi 30-04-2006 - 23:42
#2
Đã gửi 20-09-2013 - 22:28
Giải như sau:
Gọi H là giao của OM với CD. Sử dụng định lý menelaus cho tam giác ACN ta có
$\frac{MA}{MN}.\frac{HN}{HC}.\frac{OC}{OA}=1\Rightarrow \frac{MN}{MA}=\frac{HN}{HC}$
Gọi P' là hình chiếu của C lên BN. H' là giao P'M với CD. Sử dụng định lý menelaus cho tam giác BCN ta có
$\frac{P'N}{P'B}.\frac{MB}{MC}.\frac{H'C}{H'N}=1\Rightarrow \frac{H'N}{H'C}=\frac{P'N}{P'B}.\frac{MB}{MC}$
Mặt khác ta thấy
$\frac{P'N}{P'B}=\frac{P'N.BN}{P'B.BN}=\frac{NC^2}{BC^2}=\frac{NC^2}{AB^2}=\frac{MC}{MB}.\frac{MN}{MA}$
Từ đó suy ra $\frac{H'C}{H'N}=\frac{HC}{HN}\Rightarrow H\equiv H'\Rightarrow P\equiv P'\Rightarrow CP\perp BN$
- Zaraki, IloveMaths, barcavodich và 5 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 20-09-2013 - 23:12
Một ý tưởng khác
Cũng gọi $H$ là giao $MP$ và $CD$
Gọi $I$ là giao $MN$ và $CP$
$K$ là giao $AI$ và $CN$
Khi đó do $(CN,KH)=-1$
Nên ta cần chứng minh $PK$ là phân giác $\angle CPN$
Cùng nghĩ theo hướng này thử xem các bạn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi barcavodich: 20-09-2013 - 23:12
- Zaraki, LNH, mat troi be nho và 2 người khác yêu thích
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh