Chủ đề này có 1 trả lời

[19kvh97]

Chứng minh rằng nếu hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[a;b]$ và thỏa mãn điểu kiện $f(a)=f(b)=0$ thì 
$\left | \int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq \frac{(b-a)^2}{4}.M$

[nthkhnimqt]

Theo định lý giá trị trung bình thì tồn tại ${\theta _1},{\theta _2}$ sao cho \[f\left( x \right) = {f^\prime }\left( {{\theta _1}} \right)\left( {x - a} \right),f\left( x \right) = {f^\prime }\left( {{\theta _2}} \right)\left( {x - b} \right)\] Do đó \[\left| {f\left( x \right)} \right| \leqslant \left( {x - a} \right)\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} \left| {{f^\prime }\left( x \right)} \right|,\left| {f\left( x \right)} \right| \leqslant \left( {b - x} \right)\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} \left| {{f^\prime }\left( x \right)} \right|\] Khi đó \begin{align*} \left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \right| &\leqslant \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_a^{\frac{{a + b}}{2}} {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_{\frac{{a + b}}{2}}^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \\ & \leqslant \int\limits_a^{\frac{{a + b}}{2}} {\left( {x - a} \right)\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} \left| {{f^\prime }\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_{\frac{{a + b}}{2}}^b {\left( {b - x} \right)\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} \left| {{f^\prime }\left( x \right)} \right|dx} \end{align*} Tính toán cẩn thận ta có \[\int\limits_a^{\frac{{a + b}}{2}} {\left( {x - a} \right)\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} \left| {{f^\prime }\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_{\frac{{a + b}}{2}}^b {\left( {b - x} \right)\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} \left| {{f^\prime }\left( x \right)} \right|dx} = \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{4}\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} \left| {{f^\prime }\left( x \right)} \right|\]
Do đó \[\left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \right| \leqslant \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{4}\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} \left| {{f^\prime }\left( x \right)} \right|\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthkhnimqt: 26-08-2015 - 15:17