Chủ đề này có 1 trả lời

[Messi10597]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.Tìm GTNN của:

$P=\frac{a^{2}}{1+b}+\frac{b^{2}}{1+a}+\frac{4c^{2}}{2+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

[VuHongQuan]

Ta có $c=1-(a+b)\ge1-\sqrt{2(a^2+b^2)}\\\Rightarrow \frac{4c^2}{2+\sqrt{a^2+b^2}}\ge\frac{4(1-\sqrt{2(a^2+b^2)})^2}{2+\sqrt{a^2+b^2}}$

$\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+a}=\frac{a^4}{a^2+a^2b}+\frac{b^4}{b^2+b^2a}\ge\frac{(a^2+b^2)^2}{a^2+b^2+ab(a+b)}\\\ge\frac{(a^2+b^2)^2}{a^2+b^2+\frac{1}{2}(a^2+b^2)\sqrt{2(a^2+b^2)}}=\frac{2(a^2+b^2)}{2+\sqrt{2(a^2+b^2)}}$

Suy ra : $P\ge\frac{2(a^2+b^2)}{2+\sqrt{2(a^2+b^2)}}+\frac{4(1-\sqrt{2(a^2+b^2)})^2}{2+\sqrt{2(a^2+b^2)}}$

đặt $t=\sqrt{2(a^2+b^2)}, (t>0)$

tới đây OKey