Chủ đề này có 1 trả lời

[guongmatkhongquen]

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
$\sqrt{\frac{ab+2c^{2}}{1+ab-c^{2}}}+\sqrt{\frac{bc+2a^{2}}{1+bc-a^{2}}}+\sqrt{\frac{ca+2b^{2}}{1+ca-b^{2}}}\geq 2+ab+bc+ca$

[hoanglong2k]

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
$\sqrt{\frac{ab+2c^{2}}{1+ab-c^{2}}}+\sqrt{\frac{bc+2a^{2}}{1+bc-a^{2}}}+\sqrt{\frac{ca+2b^{2}}{1+ca-b^{2}}}\geq 2+ab+bc+ca$

 Áp dụng AM-GM :

 $\sum \sqrt{\frac{ab+2c^{2}}{1+ab-c^{2}}}$

 $=\sum \sqrt{\frac{ab+2c^{2}}{a^2+ab+b^2}}$

 $=\sum \frac{ab+2c^2}{\sqrt{(ab+2c^2)(a^2+ab+b^2)}}$

 $\geq 2\sum \frac{ab+2c^2}{(a+b)^2+2c^2}$

 $\geq \sum \frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}$

 $=2\sum a^2+\sum ab=2+ab+bc+ca$