Chủ đề này có 1 trả lời

[leminhansp]

Cho $a\in[1;2]$. Tìm $k$ tốt nhất để bất đẳng thức sau đúng $$(2^a+3^a+4^a)(6^a+12^a+8^a)\le k24^{a}.$$

-----

Bài toán trên xuất phát từ bài toán sau: Cho $a\in[1;2]$. CMR $(2^a+3^a+4^a)(6^a+12^a+8^a)< 24^{a+1}$.

Là một bài tập mình gặp trong quá trình tổng hợp tài liệu. Mình không thích các đánh giá trong bài tập này, nó không chặt nên mới đặt ra bài tập trên. Do BĐT mình kém nên chưa tìm ra được số $k$ tốt hơn và gửi lên đây các bạn đánh giá giúp.

[buitudong1998]

Cho $a\in[1;2]$. Tìm $k$ tốt nhất để bất đẳng thức sau đúng $$(2^a+3^a+4^a)(6^a+12^a+8^a)\le k24^{a}.$$

-----

Bài toán trên xuất phát từ bài toán sau: Cho $a\in[1;2]$. CMR $(2^a+3^a+4^a)(6^a+12^a+8^a)< 24^{a+1}$.

Là một bài tập mình gặp trong quá trình tổng hợp tài liệu. Mình không thích các đánh giá trong bài tập này, nó không chặt nên mới đặt ra bài tập trên. Do BĐT mình kém nên chưa tìm ra được số $k$ tốt hơn và gửi lên đây các bạn đánh giá giúp.

Em nghĩ ta nên trung thành với đề cũ anh ạ, câu này trong đề thi thử của chuyên Hà Tĩnh và em cũng công nhận là nó quá lỏng

Thêm nữa, khi biến đổi: $BDT\Leftrightarrow (2^{a}+3^{a}+4^{a})(\frac{1}{2^{a}}+\frac{1}{3^{a}}+\frac{1}{4^{a}})\leqslant k\Leftrightarrow (\frac{2}{3})^{a}+(\frac{3}{2})^{a}+(\frac{3}{4})^{a}+(\frac{4}{3})^{a}+(\frac{2}{4})^{a}+(\frac{4}{2})^{2}\leqslant k-3$

Với $a\in \left [ 1;2 \right ]$ và dùng : $a^{x}\leqslant a$ khi  $a\leqslant 1; x\geqslant 1$

                                                    $a^{x}\geqslant a$ khi $a;x\geqslant 1$

Ta cũng tìm được $k\geqslant 12\tfrac{17}{18}$ rồi

Còn khi nhập biểu thức lên máy tính thì trên đoạn $1$ và $2$, nó đồng biến và em nghĩ $k\geqslant 12\tfrac{41}{144}$

Nhưng chứng minh điều này thực sự.......khó