Chủ đề này có 98 trả lời

[Bùi Việt Anh]

Mình có một phương pháp dùng để trị các bài BDT không đối xứng nhưng do loại này rất đa dạng nên chưa kiểm nghiệm được hết tính đúng đắn của phương pháp do đó chưa tiện công bố.Một trong các dạng mình chưa khẳng định được chính là bài toán 1 trong topic này.Xin đưa ra lời giải để các bạn kiểm tra hộ:
Bài toán 1. Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
$\large \dfrac{a^7}{a^6+b^6}+\dfrac{b^7}{b^6+c^6}+\dfrac{c^7}{c^6+a^6}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$
Lời giải:
Đặt $ A= \large \dfrac{a^7}{a^6+b^6}+\dfrac{b^7}{b^6+c^6}+\dfrac{c^7}{c^6+a^6}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$
$B= \large \dfrac{b^7}{a^6+b^6}+\dfrac{c^7}{b^6+c^6}+\dfrac{a^7}{c^6+a^6}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$
Ta nhận thấy nếu trong B ta đặt b=a,c=b,a=c thì ta được A.
Do đó việc CM $A \geq \dfrac{a+b+c}{2}$ là tương đương với việc CM $B \geq \dfrac{a+b+c}{2}$.
Việc CM 1 trong 2 điều trên là vô cùng khó khăn.Như ta đã thấy hầu hết các phương pháp đều chịu bó tay còn dùng "chia để trị" thì lại vô cùng dài dòng và mệt mỏi.Nhưng nếu ta cộng 2 BDT lại tức là CM điều sau: A+B a+b+c lại vô cùng dễ dàng như sẽ thấy sau đây:
Ta có: $A+B= \large \dfrac{a^7+b^7}{a^6+b^6}+\dfrac{b^7+c^7}{b^6+c^6}+\dfrac{c^7+a^7}{c^6+a^6} \geq \dfrac{a+b}{2} + \dfrac{b+c}{2} + \dfrac{c+a}{2} =a+b+c$
Suy ra ta có 1 trong 2 điều sau:
Hoặc $A \geq \dfrac{a+b+c}{2}$.
Hoặc $B \geq \dfrac{a+b+c}{2}$
Và như lí luận trên đầu thì ta đã có điều cần CM.

P/S: nếu như lời giải trên là sai thì chắc là do chủ quan duy lí trí nên mình ko nhận ra còn nếu như nó đúng thì sẽ là một bước đột phá quá mạnh mẽ trong BDT.Mong các bạn quan tâm và cho ý kiến đặc biệt là anh <span style='color:blue'>hatucdao</span>.Hiện tại mình ko có thời gian học toán sơ cấp và càng ko có thời gian làm BDT nhưng vẫn cố bố trí thời gian để thảo luận cùng các bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 24-04-2009 - 13:27

[Bùi Việt Anh]

Mới nhìn thì các bạn sẽ cảm thấy rằng lời giải trên là ko thể chấp nhận được.Nhưng nếu muốn phản biện thì hãy có lí luận thật chặt chẽ,đừng dựa trên cảm giác nhé!Mình cũng chưa tìm ra lời phản biện nào hoàn hảo cả

[Math,math n math]

Bài toán 1. Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
$\large \dfrac{a^7}{a^6+b^6}+\dfrac{b^7}{b^6+c^6}+\dfrac{c^7}{c^6+a^6}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$
Lời giải:
Đặt $ A= \large \dfrac{a^7}{a^6+b^6}+\dfrac{b^7}{b^6+c^6}+\dfrac{c^7}{c^6+a^6}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$
$B= \large \dfrac{b^7}{a^6+b^6}+\dfrac{c^7}{b^6+c^6}+\dfrac{a^7}{c^6+a^6}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$
Ta nhận thấy nếu trong B ta đặt b=a,c=b,a=c thì ta được A.
Do đó việc CM $A \geq \dfrac{a+b+c}{2}$ là tương đương với việc CM $B \geq \dfrac{a+b+c}{2}$.
Việc CM 1 trong 2 điều trên là vô cùng khó khăn.Như ta đã thấy hầu hết các phương pháp đều chịu bó tay còn dùng "chia để trị" thì lại vô cùng dài dòng và mệt mỏi.Nhưng nếu ta cộng 2 BDT lại tức là CM điều sau: A+B a+b+c lại vô cùng dễ dàng như sẽ thấy sau đây:
Ta có: $A+B= \large \dfrac{a^7+b^7}{a^6+b^6}+\dfrac{b^7+c^7}{b^6+c^6}+\dfrac{c^7+a^7}{c^6+a^6} \geq \dfrac{a+b}{2} + \dfrac{b+c}{2} + \dfrac{c+a}{2} =a+b+c$
Suy ra ta có 1 trong 2 điều sau:
Hoặc $A \geq \dfrac{a+b+c}{2}$.
Hoặc $B \geq \dfrac{a+b+c}{2}$
Và như lí luận trên đầu thì ta đã có điều cần CM.

Vừa nhìn có vẻ kì kì nhưng xem kĩ thì hoàn toàn hợp logic ấy chứ
Em xin trình bày lại lời giải và hy vọng nó sẽ rõ ràng hơn

Đặt $ A= \large \dfrac{x^7}{x^6+y^6}+\dfrac{y^7}{y^6+z^6}+\dfrac{z^7}{z^6+x^6}\ge \dfrac{x+y+z}{2}$
$B= \large \dfrac{y^7}{x^6+y^6}+\dfrac{z^7}{y^6+z^6}+\dfrac{x^7}{z^6+x^6}\ge \dfrac{x+y+z}{2}$

$A+B= \large \dfrac{x^7+y^7}{x^6+y^6}+\dfrac{y^7+z^7}{y^6+z^6}+\dfrac{z^7+x^7}{z^6+x^6} \geq \dfrac{x+y}{2} + \dfrac{y+z}{2} + \dfrac{z+x}{2} =x+y+z$
Suy ra ta có 1 trong 2 điều sau:
Hoặc $A \geq \dfrac{x+y+z}{2}$ (1)
Hoặc $B \geq \dfrac{x+y+z}{2}$ (2)

Vì (1)V(2) đúng nên giờ chỉ phụ thuộc vào cách mà ta đặt ẩn
_với (1) đúng thì bđt đã cho đúng với x=a,y=b,z=c hoặc x=b,y=c,z=a hoặc x=c, y=a,z=b
_với (2) đúng thì bđt đã cho đúng với x=a,y=c,z=b hoặc x=b,y=a,z=c hoặc x=c, y=b,z=a
Với việc trình bày lại lời giải em hy vọng làm cho bài toán tường minh hơn

Ý tưởng này em cũng đã nghĩ đến khi đọc bài BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG PHÂN THỨC của CDN nhưng hoàn toàn không có 1 nghiên cứu chính thức gì cho nó nên khi thấy anh Bùi Việt Anh gợi nên thì em rất thích và hoản toàn ủng hộ cho pp này, hy vọng nó đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 24-04-2009 - 13:31

[macon]

Hơ cái này là sai mà đúng là ta có $a,b,c$ nào đó nhưng với mọi bộ thứ tự $a,b,c$] là sai !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 24-04-2009 - 13:33

[Kimluan]

Bài toán 1. Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
$\large \dfrac{a^7}{a^6+b^6}+\dfrac{b^7}{b^6+c^6}+\dfrac{c^7}{c^6+a^6}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$
Lời giải:
Đặt $ A= \large \dfrac{a^7}{a^6+b^6}+\dfrac{b^7}{b^6+c^6}+\dfrac{c^7}{c^6+a^6}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$
$B= \large \dfrac{b^7}{a^6+b^6}+\dfrac{c^7}{b^6+c^6}+\dfrac{a^7}{c^6+a^6}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$
Ta nhận thấy nếu trong B ta đặt b=a,c=b,a=c thì ta được A.
Do đó việc CM $A \geq \dfrac{a+b+c}{2}$ là tương đương với việc CM $B \geq \dfrac{a+b+c}{2}$.
Việc CM 1 trong 2 điều trên là vô cùng khó khăn.Như ta đã thấy hầu hết các phương pháp đều chịu bó tay còn dùng "chia để trị" thì lại vô cùng dài dòng và mệt mỏi.Nhưng nếu ta cộng 2 BDT lại tức là CM điều sau: A+B a+b+c lại vô cùng dễ dàng như sẽ thấy sau đây:
Ta có: $A+B= \large \dfrac{a^7+b^7}{a^6+b^6}+\dfrac{b^7+c^7}{b^6+c^6}+\dfrac{c^7+a^7}{c^6+a^6} \geq \dfrac{a+b}{2} + \dfrac{b+c}{2} + \dfrac{c+a}{2} =a+b+c$
Suy ra ta có 1 trong 2 điều sau:
Hoặc $A \geq \dfrac{a+b+c}{2}$.
Hoặc $B \geq \dfrac{a+b+c}{2}$
Và như lí luận trên đầu thì ta đã có điều cần CM.

P/S: nếu như lời giải trên là sai thì chắc là do chủ quan duy lí trí nên mình ko nhận ra còn nếu như nó đúng thì sẽ là một bước đột phá quá mạnh mẽ trong BDT.Mong các bạn quan tâm và cho ý kiến đặc biệt là anh <span style='color:blue'>hatucdao</span>.Hiện tại mình ko có thời gian học toán sơ cấp và càng ko có thời gian làm BDT nhưng vẫn cố bố trí thời gian để thảo luận cùng các bạn

Cách chứng minh này sai rất cơ bản nguyên nhân sai vì ta đã ngộ nhận các biến a,b,c trong hai cách đặt
$ A= \large \dfrac{a^7}{a^6+b^6}+\dfrac{b^7}{b^6+c^6}+\dfrac{c^7}{c^6+a^6}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$
và
$B= \large \dfrac{b^7}{a^6+b^6}+\dfrac{c^7}{b^6+c^6}+\dfrac{a^7}{c^6+a^6}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$
là như nhau!!!
Kết luận của anh tức cần chứng minh 1 trong hai cái
A $\dfrac{a+b+c}{2}$(1) hoặc B $\dfrac{a+b+c}{2}$(2) là đúng nhưng cần lưu ý là a trong (1) khác với a trong (2)
còn muốn xem như a,b,c trong cả (1) và (2) là như nhau thì cần phải chứng minh
A $\dfrac{a+b+c}{2}$ và B $\dfrac{a+b+c}{2}$ đều đúng!!!
Đây là sai lầm rất đáng tiếc về việc dùng cùng một kí hiệu cho hai biến khác nhau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 24-04-2009 - 13:35

[Bùi Việt Anh]

Hì hì!cái sau lầm ở đây là khi hoán vị như vậy thì B vẫn là B chứ ko phải là A.Các dạng khác hoán vị mỗi 2 biến cho nhau thôi nên vẫn đúng còn dạng này hoán vị cả 3 biến nên sai.Sao lại có thể nhầm lẫn ngớ ngẩn thế cơ chứ hả trời.Tôi sẽ cố tìm cách giải quyết dạng này thử xem.
Lời nhận xét của macon và kimluan thể hiện 1 trong 2 điều: quá vội vàng hoặc non nớt trong tư duy.Tuy nhiên tôi thiên về khả năng nóng vội.Hai bạn trẻ ngẫm nghĩ lại nhé!

[hungkhtn]

Bài toán:

CMR với mọi $a,b,c$ thì
$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a} \ge \dfrac{3}{2}$.
Lời giải. Nếu cách giải trên đúng thì hiển nhiên phải có

$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a} =\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{c+a}=\dfrac{3}{2}$.

or a=b hoặc b=c hoặc c=a? Lạ thật. !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 24-04-2009 - 13:36

[Math,math n math]

[quote name='hungkhtn' date='Jul 11 2006, 09:02 PM'] Bài toán:

CMR với mọi $A=\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{z+x}$
$B=\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{y+z}+\dfrac{x}{z+x}$
A+B=3
Hiển nhiên phải có hoặc $\dfrac{3}{2}$thì A+B<3 (cái này nói vậy cho chắc bài chứ em bix mấy anh dư hiểu)
Và như cách đặt mà em đã nói trên , bài toán được CM
P/S : em chưa hiểu ý của anh Hùng lắn ạ , sao lại cho 2 cái đó = 3/2 luôn ạ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 24-04-2009 - 13:38

[Math,math n math]

em hy vọng điều sau là sai nhưng pp này lại có vấn đề rùi?? hôm qua khi xem mấy bài dạng này em có gặp 1 bài
cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác CMR
$\forall$] bộ số a,b,c thỏa đk đề bài

mà hy vọng sao mấy lập luận này đây đều sai hết :cry:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 24-04-2009 - 13:38

[Kimluan]

Bài toán:

CMR với mọi $a,b,c$ thì
$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a} \ge \dfrac{3}{2}$.
Lời giải. Nếu cách giải trên đúng thì hiển nhiên phải có

$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a} =\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{c+a}=\dfrac{3}{2}$.

or a=b hoặc b=c hoặc c=a? Lạ thật. !

Đây là phản thí dụ rất cụ thể để khẳng định cách tư duy của VA là sai lầm,nguyên nhân sai tôi đã nói ở trên: DÙNG CHUNG MỘT KÍ HIỆU CHO HAI BIẾN KHÁC NHAU
Cần khẳng định:Người nóng vội chính là VA chứ không phải là tôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 24-04-2009 - 13:39

[Bùi Việt Anh]

Bài toán:

Bài toán:

CMR với mọi $a,b,c$ thì
$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a} \ge \dfrac{3}{2}$.
Lời giải. Nếu cách giải trên đúng thì hiển nhiên phải có

$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a} =\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{c+a}=\dfrac{3}{2}$.

or a=b hoặc b=c hoặc c=a? Lạ thật. !

Hùng lôi đâu ra bài toán này thế?đây là bài toán sai nên tất nhiên là dẫn đến vô lý rồi.
Lời giải tôi đưa ra là sai vì sau khi hoán vị thì B vẫn là B chứ ko phải là A.Còn các lời giải thích khác đều sai hết.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 24-04-2009 - 13:40

[hungkhtn]

Tớ không nói nó đúng hay sai mà. Giả sử cách làm của VA đúng, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức
$a,b,c$ thì a=b hoặc b=c hoặc c=a!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 24-04-2009 - 13:40

[Kimluan]

Bài toán:

CMR với mọi $a,b,c$ thì
$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a} \ge \dfrac{3}{2}$.

Hùng lôi đâu ra bài toán này thế?đây là bài toán sai nên tất nhiên là dẫn đến vô lý rồi.
Lời giải tôi đưa ra là sai vì sau khi hoán vị thì B vẫn là B chứ ko phải là A.Còn các lời giải thích khác đều sai hết.

Hi nói chung lỗi sai này nặng quá nên có nhiều cách hiểu khác nhau, có thể cách hiểu chỗ sai của anh khác với em nên không thể khẳng định cách hiểu của em là không đúng. Hi anh VA có nhiều kiểu tư duy kì lạ thật, lại rất bảo thủ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 24-04-2009 - 13:41

[Bùi Việt Anh]

Thực ra thì anh biết là sai rồi vì bài này rất chặt nên ko thể làm theo kiểu đó được nhưng tìm được lời lí giải nào thật chặt chẽ vì nhầm sau khi hoán vị vậy thì B trở thành A.Giờ thì có thể khẳng định bài đấy không thể có cách giải khác ngoài "chia để trị được".Hôm nào anh sẽ post đoạn dùng S.O.S của anh lên để em dùng tiếp bằng "chia để trị".Tuy là biết cách dùng nó nhưng ko thể bằng người đã sáng tác ra nó được.Nhân đây cũng xin post 1 bài sáng tác của "Cậu bé quàng khăn đỏ" bên MnF thể hiện sức mạnh của "chia để trị" :
Bài toán: Cho $x,y,z>0, xyz=1$. Chứng minh rằng:

$\Large \dfrac{x}{y^4+2}+\dfrac{y}{z^4+2}+\dfrac{z}{x^4+2}\ge 1$
Bài này cũng khó chẳng kém gì bài 1 còn với TH tìm min với mũ 5 thì khó hơn nhiều.Với mũ 4 lời giải của anh vẫn là S.O.S+chia để trị nhưng rất dài còn với mũ 5 thì bó tay rồi.Chắc phải đích thân anh Hatucdao ra tay thôi.Mong post sang bên này sẽ sớm có lời giải.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 24-04-2009 - 13:41

[Kimluan]

[quote]Thực ra thì anh biết là sai rồi vì bài này rất chặt nên ko thể làm theo kiểu đó được nhưng tìm được lời lí giải nào thật chặt chẽ vì nhầm sau khi hoán vị vậy thì B trở thành A.Giờ thì có thể khẳng định bài đấy không thể có cách giải khác ngoài "chia để trị được".Hôm nào anh sẽ post đoạn dùng S.O.S của anh lên để em dùng tiếp bằng "chia để trị".Tuy là biết cách dùng nó nhưng ko thể bằng người đã sáng tác ra nó được.Nhân đây cũng xin post 1 bài sáng tác của "Cậu bé quàng khăn đỏ" bên MnF thể hiện sức mạnh của "chia để trị" :
Bài toán: Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$x=y=z=1$ suy ra $f_1(4)=1$
$x=1.290956$, $y=1.291078$,$ f_2(4)=1.00200405 $ (g/s $z=min(x,y,z)$) +Nếu $min{f(4)}=f_1(4)$ +Nếu $ z<0.83$ thì $k$ tăng lên chút xíu chẳn hạn $x=1.324405$, $y=1.319033$, $f(4.05)=0.999852$ (!) Nói vậy để biết khi $k=4$ thì bài toán mạnh và chặc như thế nào.
........................
Khi k càng lớn thì càng xuất hiện nhiều điều quá dị.
Ở đây chỉ xét trường hợp đặc biệt khi k=5:
Cho $y=1.44162$; $f_1(5)=0.9436134$ Thử khảo sát: Khi cho hai biến bằng nhau chẳng hạn $x=y$rồi đưa về một biến theo $f_1(5)=0.9436134$ ở trên (!) (tất nhiên chưa hẳn $f_1(5)$ là min)
Vậy giá trị min khi $x,y,z$ở các điểm rất lộn xộn và giá trị nhỏ nhất (thực sự) của $x,y,z$ở các điểm lộn xộn ($x,y,z$không dính dáng gì với nhau). Đối với các bài này thì rõ ràng ìchia để trị” là con đường duy nhất, mặc dù vậy cho đến giờ thì đây vẫn là một vấn đề mở.
.......................
Anh Cường dám độ với ìcậu bé” sẽ giải được với trường hợp $k=5$, với các công cụ hiện nay có lẽ việc giải được là hoang đường. Cá độ thì thường cháy túi ai cũng biết rồi mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 24-04-2009 - 13:50

[Bùi Việt Anh]

Cuối cùng thì em cũng thấy được cái khó của bài toán.Hôm qua lên mạng đọc thấy em bảo bài này dễ mà choáng quá.Thực tế thì chưa có cách giải nào trọn vẹn cho bài toán cả.Các cao thủ như : hungkhtn,bobbysteven...cũng đánh giá rất rất cao bài toán này.Chỉ khi nào bị dồn đến đường cùng anh mới phải dùng đến S.O.S+chia để trị thôi .Chỉ dùng "chia để trị" thì số TH sẽ phải xét là lớn hơn rất nhiều nhưng cũng ko thể dùng S.O.S như bình thường được.Có một điều cực kì đơn giản nhưng nó lại có ý nghĩa rất lớn trong việc phân tích S.O.S đó là :
$?A \geq B \Leftrightarrow C-B \geq C-A$
Với mũ 4 thì bài toán này đã khó hơn cả bài toán 1 trong topic ở chỗ mũ rất lệch nhau nhưng vấn đề này có thể giải quyết ko khó khăn gì.Mời các bạn thảo luận tại đây:
http://mathnfriend.net/index.php
P/S: Anh cũng đồng ý kiến cho rằng với mũ 5 thì công cụ hiện nay chưa giải quyêt nổi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 24-04-2009 - 13:46

[minhthanh_t4]

co ai dinh nghia phuong phap nay cho em ko ? em cam on nhieu

[toanhocmuonmau]

Theo em, đây đúng là một phương pháp cực mạnh nhưng lại là một phương pháp cực dở bởi nó chỉ giúp chúng ta kiểm chứng được một bất đẳng thức là đúng hay sai thôi chứ chúng ta khó mà áp dụng nó trong các kỳ thi đặc biệt là thi HSGQG (bởi vì chúng ta không được phép sử dụng máy tính bỏ túi và các lời giải bằng phương pháp này thường rất dài (2, 3 trang chứ không ít) làm chúng ta tốn rất nhiều tg thì còn tg đâu mà giải các bài khác).
Chắc chúng ta chỉ nên dùng nó cho thi HSGMTBT thôi!

[builamtruclong]

lam sao biet minh co the nhan giai thuong o dau

[buckandbaby]

Giả sử $ a \geq b \geq c$
Xét
$(4( \dfrac{a+b}{2} )^2+ \dfrac{(a+b)c}{2}) ^2-(4a^2+bc)(4b^2+ac)=(a-b)^2(a^2+b^2+6ab+ \dfrac{c^2}{4} -3ac-3bc) \geq 0$
suy ra nếu đặt $t=\dfrac{a+b}{2} \geq c$ thì ta có
$f(a,b,c) \geq f(t,t,c)$

tại sao lại có điều này, các anh nói rõ được không

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 24-04-2009 - 13:50