Tính chất, phép toánBằng cách
quy nạp (hoặc đệ quy), ta có thể định nghĩa
phép tính cộng (tìm
tổng) các số tự nhiên bằng cách đặt
- a + 0 = a, với mọi a
- a + S(b) = S(a + b), với mọi a, b
Với phép toán cộng này, tập số tự nhiên (N, +) trở thành
nửa nhóm giao hoán có đơn vị 0, hay còn gọi là
vị nhóm giao hoán. Vị nhóm (N, + ) này thỏa mãn
luật giản ước (nghĩa là a + c = b + c dẫn đến a = b) nên có thể bổ sung để trở thành một
nhóm. Nhóm nhỏ nhất chứa tập các số tự nhiên được gọi là tập các số nguyên.
Nếu chung ta định nghĩa S(0) := 1, và S(b) := S(b + 0) = b + S(0) = b + 1, thì ta có thể ký hiệu số liền sau của b bởi b + 1
Hoàn toàn tương tự, sau khi có phép cộng, ta có thể định nghĩa phép nhân x (tìm
tích) thông qua:
- a x 0 = 0
- a x S(b) = (a x b) + a
Khi đó, (N, x) là một vị nhóm giao hoán với đơn vị là 1; một
tập sinh của vị nhóm này là tập các
số nguyên tố.
Phép cộng và nhân theo định nghĩa trên là tương thích, thỏa mãn
tính chất phân phối: ax(b+c) = (axb) + (axc)
Và ta có tập các số tự nhiên là
nửa vành giao hoán.
Nếu như chúng ta xem tập số tự nhiên bắt đầu từ 1, nghĩa là N = {1, 2, 3, ...} thì định nghĩa phép cộng và nhân cũng giống như ở trên, nhưng cần thay thế hai điều kiện đầu thành a + 1 = S(a) và a x 1 = a
Các phép toán
trừ (tìm
hiệu) và
chia (tìm
thương) được thực hiện thông qua phép toán cộng và nhân theo tương ứng. Tuy nhiên, trên tập số tự nhiên thì hai phép toán này không phải lúc nào cũng thực hiện được.
Để thuận tiện, ta viết ab thay cho tích a x b và và quy ước bậc ưu tiên thực hiện các phép toán như thông thường (nhân chia trước, cộng trừ sau...).
Hơn thế nữa, ta còn có thể định nghĩa một
quan hệ thứ tự toàn phần trên tập các số tự nhiên. Ta viết a ≤ b khi và chỉ khi tồn tại một số tự nhiên c sao cho a + c = b.
Quan hệ này tương thích với các phép toán số học theo nghĩa sau: nếu a, b, c là các số tự nhiên và a ≤ b, thì khi đó a + c ≤ b + c và ac ≤ bc.
Một tính chất đáng chú ý khác, tập số tự nhiên là tập
sắp thứ tự tốt, nghĩa là
mỗi tập con khác rỗng của tập số tự nhiên đều có một phần tử nhỏ nhấtNói chung, thương của hai số tự nhiên không chắc là số tự nhiên. Từ đó, ta có định nghĩa
phép chia với dư hơi khác một tí so với phép chia hết (tổng quát hơn): với hai số tự nhiên a và b (trong đó b khác 0), ta có thể tìm được hai số tự nhiên q và r sao cho:
a = bq + r và r < b
Số q gọi là
thương (nếu chia hết, r = 0) hoặc
thương hụt (nếu r khác 0) (để đơn giản, ta gọi chung là
thương), và r gọi là số
dư trong phép toán a chia cho b. Các số q và r được xác định duy nhất với mỗi cặp a, b.
Phép toán này làm cơ sở cho nhiều phép toán, thuật toán khác, chẳng hạn như phép chia hết (như đã nói ở trên), thuật toán Euclide, tìm ước chung lớn nhất...
