a,b,c> 0, abc=1.CMR:
$(a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)(c+\frac{1}{a}-1)\leq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cachcach10x: 29-08-2015 - 21:23
$(a+\frac{1}{b}-1)+(b+\frac{1}{c}-1)+(c+\frac{1}{a}-1)\leq 1$
Bắt đầu bởi cachcach10x, 28-08-2015 - 22:48
#2
Đã gửi 29-08-2015 - 12:45
quan1234
-
- Thành viên
-
- 257 Bài viết
Thượng sĩ
a,b,c> 0, abc=1.CMR
$(a+\frac{1}{b}-1)+(b+\frac{1}{c}-1)+(c+\frac{1}{a}-1)\leq 1$
Theo mình đề phải như thế này chứ $(a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)(c+\frac{1}{a}-1)\leq 1$
Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$
Ta có $(\frac{x}{y}-1+\frac{z}{y})(\frac{y}{z}-1+\frac{x}{z})(\frac{z}{x}-1+\frac{y}{x})= \frac{(x-y+z)(y+x-z)(z+y-x)}{xyz}$
Ta chỉ cần phải chứng minh $(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)\leq xyz$
Ta có $(x-y+z)(y-z+x)\leq \frac{(x-y+z+y-z+x)^2}{4}=x^2$
tương tự rồi nhân vào, ta sẽ được đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quan1234: 30-08-2015 - 17:44
- O0NgocDuy0O và CaptainCuong thích
#3
Đã gửi 29-08-2015 - 17:49
CaptainCuong
-
- Thành viên
-
- 212 Bài viết
Thượng sĩ
Theo mình đề phải như thế này chứ $(a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)(c+\frac{1}{a}-1)\leq 1$
Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$
Ta có $(\frac{x}{y}-1+\frac{z}{x})(\frac{y}{z}-1+\frac{x}{z})(\frac{z}{x}-1+\frac{y}{x})= \frac{(x-y+z)(y+x-z)(z+y-x)}{xyz}$
Ta chỉ cần phải chứng minh $(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)\leq xyz$
Ta có $(x-y+z)(y-z+x)\leq \frac{(x-y+z+y-z+x)^2}{4}=x^2$
tương tự rồi nhân vào, ta sẽ được đpcm
Nhưng lỡ như không có x,y,x nào thỏa $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$ thì sao
#4
Đã gửi 29-08-2015 - 18:58
O0NgocDuy0O
-
- Thành viên
-
- 760 Bài viết
Trung úy
Nhưng lỡ như không có x,y,x nào thỏa $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$ thì sao
Chắc chắc tồn tại do $abc=1$.
- CaptainCuong yêu thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#5
Đã gửi 29-08-2015 - 21:41
cachcach10x
-
- Thành viên
-
- 76 Bài viết
Hạ sĩ
Theo mình đề phải như thế này chứ $(a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)(c+\frac{1}{a}-1)\leq 1$
Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$
Ta có $(\frac{x}{y}-1+\frac{z}{x})(\frac{y}{z}-1+\frac{x}{z})(\frac{z}{x}-1+\frac{y}{x})= \frac{(x-y+z)(y+x-z)(z+y-x)}{xyz}$
Ta chỉ cần phải chứng minh $(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)\leq xyz$
Ta có $(x-y+z)(y-z+x)\leq \frac{(x-y+z+y-z+x)^2}{4}=x^2$
tương tự rồi nhân vào, ta sẽ được đpcm
chỗ đấy phải là $\frac{z}{y}$ chứ nhỉ 
A naughty girl 
#6
Đã gửi 30-08-2015 - 17:51
quan1234
-
- Thành viên
-
- 257 Bài viết
Thượng sĩ
chỗ đấy phải là $\frac{z}{y}$ chứ nhỉ
Xin lỗi, mình đánh nhầm. Mình sửa lại rồi đấy.
#7
Đã gửi 30-08-2015 - 20:01
cachcach10x
-
- Thành viên
-
- 76 Bài viết
Hạ sĩ
Theo mình đề phải như thế này chứ $(a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)(c+\frac{1}{a}-1)\leq 1$
Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$
Ta có $(\frac{x}{y}-1+\frac{z}{y})(\frac{y}{z}-1+\frac{x}{z})(\frac{z}{x}-1+\frac{y}{x})= \frac{(x-y+z)(y+x-z)(z+y-x)}{xyz}$
Ta chỉ cần phải chứng minh $(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)\leq xyz$
Ta có $(x-y+z)(y-z+x)\leq \frac{(x-y+z+y-z+x)^2}{4}=x^2$
tương tự rồi nhân vào, ta sẽ được đpcm
Chỗ này không chặt chẽ. Vì x-y+z; y-z+x; z-x+y chưa chắc đã lớn hơn 0;
$(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)\leq xyz$ là BĐT Schurs nên ta phải giả sử x lớn nhất rồi xét hai trường hợp. 
- quan1234 yêu thích
A naughty girl
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
