Đến nội dung

Hình ảnh

$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Thu Huyen 21

Thu Huyen 21

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 233 Bài viết

Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 29-08-2015 - 22:24


#2
Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết

Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$

BẤT ĐĂNG THỨC CẦN CHỨNG MINH TƯƠNG ĐƯƠNG

$a(a-c)(a-b)+b(b-a)(b-c)+c(c-b)(c-a)\geq 0$ ( đúng theo BĐT $Schur$ )

[\Spoiler] abc [\Spoiler]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 05-12-2015 - 22:14


#3
Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết

Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$

Cách giải khác không dùng BĐT $Schur$  

Giả sử $a \geq b \geq c$ 

Đặt $x=a-b,y=b-c$

Bất đẳng thức được viết lại thành

$c(x+y)y-(c+y)xy+(c+x+y)x(x+y) \geq 0$

$<=>c(x^{2}+xy+y^{2})+x^{2}(x+2y) \geq 0$ ( hiển nhiên đúng vì $c;x;y$ không âm )

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=0$ hoặc $x=c=0$

Hay $a=b=c$ hoặc $a=b,c=0$ và các hoán vị



#4
longatk08

longatk08

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết

Cách giải khác không dùng BĐT $Schur$  

Giả sử $a \geq b \geq c$ 

Đặt $x=a-b,y=b-c$

Bất đẳng thức được viết lại thành

$c(x+y)y-(c+y)xy+(c+x+y)x(x+y) \geq 0$

$<=>c(x^{2}+xy+y^{2})+x^{2}(x+2y) \geq 0$ ( hiển nhiên đúng vì $c;x;y$ không âm )

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=0$ hoặc $x=c=0$

Hay $a=b=c$ hoặc $a=b,c=0$ và các hoán vị

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn không có 2 số nào đồng thời bằng không.Chứng minh BĐT sau:

 

$$\sum a^2(a-b)(a-c)\geq \frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{ab+bc+ca}\cdot \sum a(a-b)(a-c)$$

 

$$ \sum a(a-b)(a-c)\geq 4\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a+b)(a+c)(b+c)}$$

 

BW are welcome! Have fun...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 30-10-2015 - 00:16


#5
longatk08

longatk08

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết

Cho $a,b,c$ không âm thỏa $ab+bc+ac>0$.Chứng minh BĐT sau:

 

$$ \sum a(a-b)(a-c)\geq abc(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-1)$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 30-10-2015 - 00:13


#6
Hoang Long Le

Hoang Long Le

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết

Cho $a,b,c$ không âm thỏa $ab+bc+ac>0$.Chứng minh BĐT sau:

 

$$ \sum a(a-b)(a-c)\geq abc(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-1)$$

 

 Cho $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho không có bất kì 2 trong 3 số đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng :

$$a^3+b^3+c^3+3abc.\dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{ab^2+bc^2+ba^2}\geq \sum ab(a+b)$$

 

 BW too :luoi:


IM LẶNG

#7
longatk08

longatk08

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết

 Cho $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho không có bất kì 2 trong 3 số đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng :

$$a^3+b^3+c^3+3abc.\dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{ab^2+bc^2+ba^2}\geq \sum ab(a+b)$$

 

 BW too :luoi:

Cái này phân tích bình phương hoán vị thì tốt hơn em ạ.



#8
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$

Đây là bất đẳng thức Schur, có thể viết ở một dạng khác đẹp hơn: $a(a-c)^2+b(b-c)^2\geqslant (a-c)(b-c)(a+b-c)$ với mọi $a,b,c$ không âm.


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh