Bài toán : Chứng minh rằng hàm số $f(x)= \cos 2x-2x+3$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$
Trên lớp, thầy giáo gọi một bạn lên làm và bạn đó làm như sau :
TXD : D=R;
$y'= -2\sin 2x -2 = -2 (1+sin 2x) \leq 0$ nên suy ra hàm số nghịch biến trên R.
------------------------------------------------------------------------------------------------
Bạn đó làm như trên và thầy cho đúng....nhưng mình thấy như vậy làm sai bởi trong sách giáo khoa có nói : "Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng $\mathbb{I}.$ Nếu $f'(x) \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{I}$ ( hoặc $f'(x) \leq 0 $ với mọi $x \in \mathbb{I}$) và $f'(x)=0$ tại hữu hạn điểm của $\mathbb{I}$ thì hàm số f đồng biến ( hoặc nghịch biến) trên $\mathbb{I}$"
Rõ ràng định lí nói rằng đạo hàm triệt tiêu tại hữu hạn điểm thuộc khoảng cần xét thế nhưng trong bài làm trên đạo hàm lại triệt tiêu tại vô số điểm thì làm sao mà đúng được ??
------------------------------------------------------------------------------------------------
Mình nghĩ làm giải đúng phải như sau :
Lời giải :
TXD: $D=\mathbb{R}$
Ta có:
$y'=-2(1+\sin 2x) \leq 0 , \forall x \in \mathbb{R};\\$
$y'=0\Leftrightarrow \sin 2x =-1 \Leftrightarrow x=\frac{-\pi}{4}+k\pi (k \in \mathbb{Z})$
Vì đạo hàm triệt tiêu tại vô hạn điểm nên ta sẽ chứng minh hàm số nghịch biến bằng định nghĩa.
Với $\forall x_1 < x_2 \in \mathbb{R}$,xét hàm số $y=f(x)$ trên $\left[ x_1;x_2 \right]$, ta thấy $f(x)$ liên tục trên $\left[ x_1;x_2 \right]$ có $y' \leq 0 \forall x \in \left[ x_1;x_2 \right] $ và $y'=0$ có hữu hạn nghiệm thuộc $\left( x_1;x_2 \right)$ suy ra hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $\left[ x_1;x_2 \right]$
Vì $x_1<x_2$ nên $f(x_1)>f(x_2)$
Do đó theo định nghĩa suy ra hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$
------------------------------------------------------------------------------------------------
Rất mong được các thầy (cô) trên diễn đàn và các bạn lớp 12 cho ý kiến về bài trên....Mình cảm thấy lo lằng về vấn đề này bởi toán là môn thi tự luận, tức cái mình lập luận phải có cơ sở vững chắc, bám vào lý thuyết sách giáo khoa chứng không thể giải quyết vấn đề mà lâp luận thiếu cơ sở như bài trên được.....
