Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic Ôn thi HSG 9 2015-2016 (Hình học)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 145 trả lời

#41 Tuituki

Tuituki

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:Toán Hóa Anh come on !!
    *Đam mỹ :3 *

Đã gửi 02-09-2015 - 08:41

Bài 23:Cho đường tròn O đường kính BC. H thuộc OB, lấy A ngoài (O) sao cho AH vuông góc BC. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến với 2 tiếp điểm là D và E sao cho D ở giữa B và E 

a, Chứng minh AEHD nội tiếp 

b, chứng minh BE,CD,AH đồng quy

--


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 13-09-2015 - 20:46

Practice makes Perfect ^^


#42 phamhuy1801

phamhuy1801

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-09-2015 - 09:21

 

a,Gọi O là trung điểm BC

Qua B vẽ đường thẳng song song với GM cắt AO tại I
Qua C vẽ đường thẳng song song với GN cắt AO tại K
Ta có $\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{AI+AK}{AG}$
$\Delta BIO=\Delta CKO$ (g-c-g)
$\Rightarrow OK=OI$
Ta có $AK+AI=AO-OK+AO+OI=2AO$
G là trọng tâm tam giác ABC có AO là trung tuyến $\Rightarrow AG=\frac{2}{3}AO$
$\Rightarrow \frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{AI+AK}{AG}=\frac{2AO}{\frac{2}{3}AO}=3$
b,Ta có $\frac{S\Delta ABC}{S\Delta AMN}=\frac{\frac{1}{2}.sinA.AB.AC}{\frac{1}{2}.sinA.AM.AN}=\frac{AB.AC}{AM.AN}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 
$4(\frac{AB}{AM}.\frac{AC}{AN}) \leq (\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN})^{2}=9$
$\Rightarrow \frac{AB.AC}{AM.AN}\leq \frac{9}{4}$
$\rightarrow \frac{S\Delta ABC}{S\Delta AMN} \leq \frac{9}{4}$
$\rightarrow \frac{S}{S'}\leq\frac{9}{4}$
$\rightarrow S'\geq\frac{4}{9}S$        

 

 

Đây là cách giải sử dụng biến đổi đại số, mình còn một cách để chứng minh cho phần b bằng cách giải thuần túy hình học:

Gọi D là giao $AG; BC$. Qua $G$ kẻ $IK//BC$. Do $BD=CD$ nên $GI=GK$.

$\frac{S_{AIK}}{S}=\frac{AI}{AB}.\frac{AK}{AC}=\frac{4}{9}$

Xét $3$ trường hợp:

-$GM=GN$ thì xảy ra đẳng thức.

-Ở hai trường hợp $GM < GN$ và $GM > GN$, ta đều có $S' > S_{AIK}=\frac{4}{9}S$

 

Mình xin góp thêm một phần của bài $21$.

$c,$ Chứng minh $S' \le \frac{1}{2}S$

 

Bài $24$: Cho $\triangle \ ABC$ nhọn, đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ và $N$ theo thứ tự là hình chiếu của $E$ và $D$ trên $BC$. Gọi $O$ là giao điểm $DM$ và $EN$. Chứng minh $HO \perp BC$. 

 

Bài $25$: Cho $\triangle \ ABC$, các phân giác $AD, BE. CF$, $M$ là giao điểm $BE$ và $DF$, $N$ là giao điểm $DE$ và $CF$. Chứng minh $\widehat{FAM}=\widehat{EAN}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamhuy1801: 02-09-2015 - 09:21


#43 ThinhSenpai

ThinhSenpai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Hoàng Văn Thụ - Lạng Sơn
  • Sở thích:Vấn đề ?

Đã gửi 02-09-2015 - 11:05

 

Mình biết là trên diễn đàn đã có một TOPIC riêng về ôn thi HSG năm học $2015-2016$ nhưng ở TOPIC đó các bài chủ yếu là phương trình vô tỉ,bất đẳng thức,... còn các bài hình học thì đã hoàn toàn ''lép vế ''.Phân môn hình học cũng là phân môn quan trọng trong thi HSG nên mình lập ra TOPIC này để các bạn cùng mình trao đổi những bài hình mà bản thân còn băn khoăn,phục vụ cho các cuộc thi HSG,chuyển cấp,chuyên...năm nay.Mong các bạn thảo luận sôi nổi  :)

Mình xin bắt đầu trước  @};-

Bài 1:Cho $\Delta ABC;\widehat{A}=90^{\circ},AH\perp BC,HE\perp AB,HF\perp AC$.CMR

a)$AE.AB=AF.AC$

b)$\Delta AEF\sim\Delta ACB$

c)$BC^{2}=3AH^{2}+BE^{2}+CF^{2}$

d)$\frac{AB^{3}}{AC^{3}}=\frac{BE}{CF}$

e)$AH^{3}=BC.BE.CF$

f)$BE.\sqrt{CH}+CE.\sqrt{BH}=AH.\sqrt{BC}$

g)$\sqrt[3]{BE^{2}}+\sqrt[3]{CF^{2}}=\sqrt[3]{BC^{2}}$

(nguồn:từ $1$ bài viết của bạn songviae)

Bài 2:Cho tứ giác $ABCD$ có $2$ đường chéo cắt nhau tại $M$ và góc $AMD = 120$ độ, $AM=MD$. Trên $BC,AB,CD$ lấy $E,K,P$ sao cho $KE$ song song với $AC, PE$ song song với $BD$. CMR tâm đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup KPE$ nằm trên $AD$
(nguồn:từ $1$ bài viết của bạn thichmontoan)
Spoiler

 

Em xử a,b,c,e nhá:

b)Xét:$\bigtriangleup AEH\sim \bigtriangleup HFC$

Có: $\widehat{H_1}=\widehat{H_3}$ ( cùng phụ với $\widehat{H_2}$

       $\widehat{E}=\widehat{F}=90^{0}$        (1)

Xét:$\bigtriangleup HFC\sim \bigtriangleup ABC$

Có:$\widehat{C}$ chung

      $\widehat{F}=\widehat{A}=90^{0}$         (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \bigtriangleup AEH\sim \bigtriangleup ABC

cũng chứng minh được ý a) 

2 tam giác trên đồng dạng $\Rightarrow \frac{AE}{AF}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow AE.AB=AC.AF$

c) $BC^{2}=3AH^{2}+BE^{2}+CF^{2}$

Sử dụng các hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:

$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=AH^{2}+BH^{2}+AH^{2}+HC^{2}$

=$2AH^{2}+BE^{2}+CF^{2}+(EH^{2}+HF^{2})=2AH^{2}+BE^{2}+CF^{2}+AH^{2}$

=$3AH^{2}+BE^{2}+CF^{2}\Rightarrow dpcm$

e)

Sử dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao:

$AH^{3}=BC.BE.CF$

$AH^{4}=AH.BC.BE.CF$

$AH.BC.BE.CF=AB.AC.BE.CF=BH^{2}.CH^{2}=(BH.CH)^{2}$

=$(AH^{2})^{2}=AH^{4}\Rightarrow dpcm$

đúng thì like nhá !!!  :like  :like  :like  :like  :like

Hình gửi kèm

  • Untitled.png

Naruto_Rasengan.gif Trong toán học, nghệ thuật nêu vấn đề có giá trị hơn giải quyết nó.

                                                                                                                                                               Georg Cantor.


#44 hoilamchi

hoilamchi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Can Lộc
  • Sở thích:Doraemon và những thứ liên quan đến Mon ú

Đã gửi 02-09-2015 - 11:30

Em xử a,b,c,e nhá:

đúng thì like nhá !!!  :like  :like  :like  :like  :like

Mình thì cũng chưa xem kĩ bài bạn nhưng chắc bạn chưa để ý là ngay trang đầu tiên bọn mình đã giải quyết gần hết bài 1 ngoại trừ câu f  :mellow:​ 



#45 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Thành viên
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 02-09-2015 - 12:57

$\boxed{\mathbf{21.}}$  Cho tam giác ABC. Trên BC, CA,AB lấy theo thứ tự các điểm D,E,F sao cho $\frac{BD}{BC}= \frac{CE}{CA}=\frac{AF}{AB}$
CMR: trong 3 đoạn thẳng AD,BE,CF tổng hai đoạn thẳng bao giờ cũng lớn hơn đoạn còn lại :))

(Đề thi thử 2007-2008)

 

Bài này khó phết  :ukliam2:  :ukliam2: 
Qua E vẽ đường thẳng $Ex// BC$,trên Ex lấy Q sao cho $EQ=BD$
Qua A vẽ đường thẳng $Ay//BC$,đường thẳng Ay cắt CQ tại M
$EQ//BC \rightarrow EQ//BD \rightarrow EQDB$ là hình bình hành 
                                               $\rightarrow BE=DQ$
Ta có $EQ//AM//BC \Rightarrow \frac{EQ}{AM}=\frac{CE}{CA}=\frac{BD}{BC}$
$EQ=BD \rightarrow BC=AM$
$\rightarrow ABCM$ là hình bình hành 
$\rightarrow AB=CM,AB//CM $
Ta có $\frac{AF}{AB}=\frac{CE}{CA}=\frac{CQ}{CM}$
$\rightarrow AF=CQ$
$AB//CM \rightarrow AF//CQ$
$\rightarrow AFCQ$ là hình bình hành 
$\rightarrow AQ=CF$
Xét $\Delta ADQ có DQ=BE(cmt),AQ=CF(cmt),AD$ chung 
$\rightarrow$ ba cạnh AD,BE,CF là độ dài ba cạnh của 1 tam giác
$\rightarrow Q.E.D$
Hình vẽ:"http://i.imgur.com/8sJvmzu.png"/>

P/s:Nếu ta sửa lại câu a,chứng minh:AD,BE,CF là độ dài ba cạnh của 1 tam giác.

                    Ta có câu  b,Gọi S1 là tam giác vừa tìm được trong câu a, Tìm giá trị của hằng số $\frac{AF}{AB}$ để S1 nhỏ nhất :lol:  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 02-09-2015 - 13:11


#46 Math Master

Math Master

    Blue Sky

  • Thành viên
  • 245 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hà Tĩnh
  • Sở thích:BĐT và hình học phẳng

Đã gửi 02-09-2015 - 14:58

Các tiền bối xem qua ạ :icon6:

Bài 26:Cho $\triangle ABC$ đều. trọng tâm G và O tùy ý trong $\triangle$

a) Đường thẳng OG vừa cắt các đường BC,AB,AC thứ tự tại A',B',C' . C/m $\dfrac{OA'}{GA'} + \dfrac{OB'}{GB'} + \dfrac{OC'}{GC'} = 3$

b) Từ O kẻ các đường OD,OE,OF thứ tự vuông góc với BC,AC,AB . C/m

$\dfrac{OD+OE+OF}{BD+CE+AF} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math Master: 02-09-2015 - 17:56

~Trí tưởng tượng quan trọng hơn kiến thức.~

Imagination is more important than knowledge.

-Einstein-


#47 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Thành viên
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 02-09-2015 - 15:47

Các tiền bối xem qua ạ :icon6:

Cho $\triangle ABC$. trọng tâm G và O tùy ý trong $\triangle$

Bài 26:a) Đường thẳng OG vừa cắt các đường BC,AB,AC thứ tự tại A',B',C' . C/m $\dfrac{OA'}{GA'} + \dfrac{OB'}{GB'} + \dfrac{OC'}{GC'} = 3$

b) Từ O kẻ các đường OD,OE,OF thứ tự vuông góc với BC,AC,AB . C/m

$\dfrac{OD+OE+OF}{BD+CE+AF} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Mình nghĩ đề phải cho $\Delta$ ABC đều  :icon6:



#48 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Invisible in Havard Chùa Láng :v
  • Sở thích:ngày xưa còn thích trinh thám giờ thì chỉ thích về quê nuôi cá trồng rau cho đỡ nhức đầu thôi ạ =))))

Đã gửi 02-09-2015 - 15:52

Một bài khá khó ^_^

$\boxed{\mathbf{22.}}$ Cho tam giác ABC. Vẽ 3 đường phân giác AM,BN,CP.

Chứng minh: $S_{MNP} \leq \frac{S}{4}$

P/s: cái bài trên kia của mình sặc sỡ quá

Mong có một lời giải thuần tuý hình học,bài này em giải thiên về biến đổi bất đẳng thức đại số hơn  :lol:

Đặt $BC=a;AC=b;AB=c$

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có 

$\frac{AN}{NC}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow \frac{AN}{AC}=\frac{AB}{AB+BC}\Rightarrow AN=\frac{bc}{b+c}$

Tương tự $AP=\frac{bc}{a+b}\Rightarrow \frac{S_{APE}}{S}=\frac{AP}{AB}.\frac{AN}{AC}$ $(*)$

Spoiler

Do đó $\frac{S_{APN}}{S}=\frac{AP.AN}{bc}=\frac{bc}{(a+c)(a+b)}\Rightarrow \sum \frac{S_{APN}}{S}=\frac{bc}{(a+c)(a+b)}+\frac{ac}{(a+b)(b+c)}+\frac{ab}{(a+c)(c+b)}$

Ta cần cm 

$\frac{S_{APN}+S_{BPM}+S_{MNC}}{S}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \frac{bc}{(a+c)(a+b)}+\frac{ac}{(a+b)(b+c)}+\frac{ab}{(a+c)(c+b)}\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow a^{2}b+a^{2}c+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+c^{2}a\geq 6abc\Leftrightarrow \sum (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})\geq 6$ $(**)$

Lại có $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\Leftrightarrow (a-b)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Nên bất đẳng thức $(**)$ đúng suy ra đpcm

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c$ hay tam giác $ABC$ đều 

Hình gửi kèm

  • Hình 6.JPG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 12-09-2015 - 11:35


#49 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Invisible in Havard Chùa Láng :v
  • Sở thích:ngày xưa còn thích trinh thám giờ thì chỉ thích về quê nuôi cá trồng rau cho đỡ nhức đầu thôi ạ =))))

Đã gửi 02-09-2015 - 17:10

$\boxed{\mathbf{21.}}$ Cho tam giác ABC trọng tâm G. Một đường thẳng d đi qua G cắt 2 cạnh AB và AC tại M và N

a) CMR: $\frac{AB}{AM}+ \frac{AC}{AN}=3$

b) Gọi S là diện tích của tam giác ABC, S' là diện tích của tam giác AMN. CMR: $S' \geq \frac{4}{9}S$

(Đề kiểm tra đội sơ tuyển tỉnh của huyện Quỳnh Lưu 2013 - 2014)

Thấy hai bạn trên làm $2$ cách rồi mình cũng xin làm cách $3$

a)Câu này giống bạn royal1534

b)Đặt $BC=a;AC=b;AB=c;AM=x;AN=y$$\Rightarrow \frac{c}{2}\leq x\leq c,\frac{b}{2}\leq y\leq b$

Áp dụng câu a ta có $9=(\frac{c}{x}+\frac{b}{y})^{2}\geq 4\frac{c}{x}.\frac{b}{y}=\frac{4bc}{xy}\Rightarrow xy\geq \frac{4bc}{9}\Rightarrow S_{AMN}\geq \frac{4}{9}S_{ABC}\Rightarrow S'\geq \frac{4}{9}S_{ABC}$

Dấu ''='' xảy ra khi $\frac{x}{c}=\frac{y}{b}\Leftrightarrow MN//BC$

Spoiler

À còn về phần hình thì mượn tạm của bạn  royal1534 nhé  :P



#50 Math Master

Math Master

    Blue Sky

  • Thành viên
  • 245 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hà Tĩnh
  • Sở thích:BĐT và hình học phẳng

Đã gửi 02-09-2015 - 17:57

Mình nghĩ đề phải cho $\Delta$ ABC đều  :icon6:

Đã sửa rồi nhé :closedeyes:


~Trí tưởng tượng quan trọng hơn kiến thức.~

Imagination is more important than knowledge.

-Einstein-


#51 KhanhTurbo12

KhanhTurbo12

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-09-2015 - 19:58

Mình cũng xin đóng góp cho topic nha

Bài 27: Cho $\Delta ABC$   đều, đường cao AH. M là một điểm thuộc cạnh BC (M khác B và C). Hai điểm  E; F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC. Gọi I là trung điểm của AM.

a) Tứ giác HEIF là hình gì? Vì sao?

b) Gọi G là trọng tâm của $\Delta ABC$. Chứng minh EF;HI;MG đồng qui

c) Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC sao cho độ dài EF đạt giá trị bé nhất. Tính giá trị bé nhất đó khi cho độ dài cạnh tam giác đều bằng a

(Trích đề thi sơ tuyển tỉnh năm ngoái  của trường mình)

P/S: khi nào rảnh bạn có thể tổng hợp tất cả các bài lại cho mình và mọi người xem được không,chứ để thế này thì hơi loạn quá.Nếu được thì cảm ơn bạn nhiều

 

:D  Chúc TOPIC ngày càng phát triển và có nhiều bài hay hơn nữa  :D  

Mod:Cảm ơn bạn nhưng bạn lần sau chú ý cái số thứ tự bài viết nhé!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KhanhTurbo12: 02-09-2015 - 20:12


#52 Tuituki

Tuituki

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:Toán Hóa Anh come on !!
    *Đam mỹ :3 *

Đã gửi 02-09-2015 - 20:07

Bài 28:Cho $(O,R)$ và $1$ đt d cố định cắt $(O)$ tại $B$ và $C$. Điểm $A$ di động trên tia đối $BC$. Vẽ qua $A$ các tiếp tuyến $AM,AN$. Gọi $H$ là tđ $BC$. Cm $MN$ đi qua 1 điểm cố định.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 05-11-2015 - 22:15

Practice makes Perfect ^^


#53 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Thành viên
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 02-09-2015 - 20:13


Các tiền bối xem qua ạ :icon6:
Bài 26:Cho $\triangle ABC$ đều. trọng tâm G và O tùy ý trong $\triangle$
a) Đường thẳng OG vừa cắt các đường BC,AB,AC thứ tự tại A',B',C' . C/m $\dfrac{OA'}{GA'} + \dfrac{OB'}{GB'} + \dfrac{OC'}{GC'} = 3$

D,E,F là hình chiếu của O trên BC,AC,AB
AG,BG,CG lần lượt cắt BC,AC,AB tại H,I,K
$\Rightarrow GH=GI=GK=\frac{1}{3}AH$
AH vuông góc BC
Ta có 
$S\Delta ABC=S\Delta OBC+S\Delta OAC+S\Delta OAB$
$\Leftrightarrow  \frac{1}{2}.AH.BC=\frac{1}{2}.(OD+OE+OF).BC$
$\Leftrightarrow  AH=OD+OE+OF$
Ta có $\frac{OA'}{GA'}=\frac{OD}{GH}=\frac{3OD}{3GH}=\frac{3OD}{AH}$
      $\frac{OB'}{GB'}=\frac{OF}{GK}=\frac{3OF}{3GK}=\frac{3OF}{AH}$
      $\frac{OC'}{GC'}=\frac{OE}{GI}=\frac{3OE}{3GI}=\frac{3OE}{AH}$
Cộng 3 vế lại ta có 
$\frac{OA'}{GA'}+\frac{OB'}{GB'}+\frac{OC'}{GC'}$
$=\frac{3(OD+OE+OF)}{AH}=\frac{3AH}{AH}=3$ $(Q.E.D)$
Hình vẽ(không được đẹp lắm :closedeyes: ):"http://i.imgur.com/zCtOcpq.png"/>


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 02-09-2015 - 20:17


#54 VOHUNGTUAN

VOHUNGTUAN

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:a1k45 THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU- NGHỆ AN
  • Sở thích:don't like any thing

Đã gửi 03-09-2015 - 10:20

BÀI 29:   Cho tam giác $ABC$ có $2$ đường trung tuyến $BM$ và $CN$ vuông góc với nhau. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. Chứng minh $BC \geq \frac{2}{3}.AH$  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 12-09-2015 - 22:35

TOÁN HỌC LÀ LINH HỒN CỦA CUỘC SỐNG

 

VIỆC HỌC TOÁN SONG SONG VỚI CUỘC ĐỜI

!

 

(~~)  :ukliam2:  >:)  :ukliam2:  (~~)

:ukliam2:  :icon13:  :icon13:  :ukliam2:  :lol:  :mellow:  :D :mellow:   :lol:  :ukliam2:  :icon13:  :icon13:  :ukliam2: 

~O)  ~O)  ~O)
 

 


#55 Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai
  • Sở thích:Làm toán

Đã gửi 03-09-2015 - 15:43

Bài 30:

Cho đường tròn $(O)$ và đường tròn $(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B$ sao cho $O$ và $O'$ nằm về hai phía đối với $AB$. Một cát tuyến thay đổi đi qua A cắt $(O)$ tại $P$ và cắt $(O')$ tại $Q$. Xác định vị trí của cát tuyến để:

a) $PQ max$

b)$ PA=QA$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 12-09-2015 - 22:35

Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có.

Perfect numbers like perfect men, are very rare.

Rene Descartes

TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN $\sqrt{MF}$

:icon6: :icon6: :icon6:


#56 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Invisible in Havard Chùa Láng :v
  • Sở thích:ngày xưa còn thích trinh thám giờ thì chỉ thích về quê nuôi cá trồng rau cho đỡ nhức đầu thôi ạ =))))

Đã gửi 03-09-2015 - 16:28

 

Bài 5:(Trích đề thi HSG đầu vào khối 9 trường mình)

Cho $\Delta ABC$ đều. Lấy điểm D nằm giữa D và C

Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm A, bờ là BC vẽ tia Bx sao cho $\widehat{CBx}= \widehat{CAD}.$ Bx cắt tia AD ở I.

a) Chứng minh $\Delta ADC\sim \Delta BDI; \Delta ADB\sim \Delta CDI$

b) Chứng minh$: IA= IB+IC;\frac{1}{DC}=\frac{1}{IB}+\frac{1}{IC}$

c) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của CD và AB. Chứng minh:

$ID^{2}=IB.IC-DB.DC$  $ID.IN=IB.IM$

d) Chứng minh $IN.BM$=$IM.BN+IB.MN$

a) $\Delta ADC \sim \Delta BDI (g.g)$

 $\Delta ADB\sim \Delta CDI (c.g.c)$

b)Ta có $\widehat{CBx}= \widehat{CAD}.$ (gt) suy ra 

$\widehat{CBx}+60^{\circ}=\widehat{CAD}+60^{\circ}$hay $\widehat{ABI}= \widehat{ADB}.$

Do đó ta dễ cm $\Delta ABD\sim \Delta AIB (g.g)$ suy ra 

$\frac{AB}{AD}=\frac{AI}{AB}$ hay $\frac{AB^{2}}{AD}=AI$ $(1)$

Lại có $IB+IC=\frac{AB.BD}{AD}+\frac{AB.CD}{AD}=\frac{AB.BC}{AD}=\frac{AB^{2}}{AD}$ (do $\Delta ABC$ đều) $(2)$

Từ $(1)(2)$ suy ra $IA=IB+IC$

Vì $\Delta ABI \sim \Delta ADB \sim \Delta IDC$ nên $\Delta ABI \sim \Delta IDC$ suy ra $\frac{AI}{CI}=\frac{BI}{DC}$

$\Rightarrow \frac{1}{DC}=\frac{AI}{BI.CI}$

$\Rightarrow\frac{1}{DC}=\frac{BI+CI}{BI.CI}$

$\Rightarrow \frac{1}{DC}=\frac{1}{IB}+\frac{1}{IC}$(đpcm)

c)Do $\Delta ABI \sim \Delta IDC$(cmt) nên $AI.ID=IB.IC$ $(3)$

mà $AI.DI=ID^2+AD.ID=BD.CD+ID^2$ $(4)$

Từ $(3)(4)$ suy ra $IB.IC=BD.CD+ID^2$ hay $ID^2=IB.IC-BD.BC$ (đpcm)

 

Hình gửi kèm

  • Hình 7.JPG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 12-09-2015 - 11:36


#57 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Thành viên
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 03-09-2015 - 17:58

Bài 30:
Cho đường tròn $(O)$ và đường tròn $(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B$ sao cho $O$ và $O'$ nằm về hai phía đối với $AB$. Một cát tuyến thay đổi đi qua A cắt $(O)$ tại $P$ và cắt $(O')$ tại $Q$. Xác định vị trí của cát tuyến để:
a) $PQ max$
b)$ PA=QA$

b,Giả sử đã xác định được vị của cát tuyến PAQ sao cho $PA=AQ$,Kẻ $OH$ vuông góc với PA
$\rightarrow HA=HP=\frac{1}{2}AP$
Kẽ O'K vuông góc với dây AQ thì$AK=KQ=\frac{1}{2}AQ$
$PA=AQ \rightarrow AH=AK$
Kẽ $Ax//OH//O'K$ cắt $OO2$ tại $I$ thì $IO=IO'$và AI vuông góc PQ
vậy phải dựng cát tuyến $PAQ$ sao cho $PAQ$ vuông góc với $IA$ tại I(với I là trung điểm đoạn nối tâm)
 
a,Dựng cát tuyến PA=AQ như câu b
Ta có $PA=AQ$ nên $\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}AQ$
                                $\rightarrow PH=AK$
                                $\rightarrow PH+AH=AK+AH$
                                $\rightarrow PA=HK$
Vẽ $O'D$ vuông góc $OH$.Tứ giác $O'DHK$ có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật 
$\rightarrow AP=HK=O'D \leq OO'$
$\rightarrow 2AP \leq 2OO'$
$\rightarrow PQ \leq 2OO'$
Dấu '=' xảy ra khi $M$ trùng $O$ hay $PQ//OO'$
Vậy khi cát tuyến $PQ // OO'$ thì PQ có độ dài lớn nhất
http://i.imgur.com/bxYdbLX.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 03-09-2015 - 18:42


#58 anhtukhon1

anhtukhon1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 480 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K64-TN-KHMT-BKHN
  • Sở thích:dota

Đã gửi 03-09-2015 - 20:35

Bài 31: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên AB, AD lấy M,N sao cho $\widehat{MCN}=45^{\circ}$. Trên BC và CD lấy P và Q sao cho $\widehat{PAQ}=45^{\circ}$, E là giao điểm của AP và CM, F là giao điểm của AQ và CN

a) Tính tổng chu vi của tam giác AMN và tam giác CPQ theo a

b) BE, EF, FD lập thành 3 cạnh của 1 tam giác vuông.



#59 Tuituki

Tuituki

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:Toán Hóa Anh come on !!
    *Đam mỹ :3 *

Đã gửi 04-09-2015 - 12:27

Bài 32: Cho $3$ điểm $A,B,C$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn $O$ thay đổi đi qua $A$ và $B$. Từ điểm chính giữa $P$ của cung lớn $AB$ vẽ đường kính $PQ$ cắt $AB$ tại $D$. Tia $CP$ cắt $(O)$ tại điểm thứ $2$ là $I$. Chứng minh khi $(O)$ thay đổi thì $QI$ luôn đi qua $1$ điểm cố định


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 05-09-2015 - 15:10

Practice makes Perfect ^^


#60 thanhtuoanh

thanhtuoanh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:ABC

Đã gửi 04-09-2015 - 15:38

BÀI 29:   Cho tam giác $ABC$ có $2$ đường trung tuyến $BM$ và $CN$ vuông góc với nhau. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. Chứng minh $BC \geq \frac{2}{3}.CH$  

đề có bị nhầm ko bạn






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh