Chủ đề này có 1 trả lời

[NMDuc98]

Cho $(O)$ là một đường tròn cố định và $A,B$ là hai điểm cố định trên $(O)$ sao cho $A,B,O$ không thẳng hàng. Điểm $C$ di động trên $(O)$ ( $C$ khác $A,B$). Gọi $(O_1), (O_2)$ lần lượt qua $A,B$ và lần lượt tiếp xúc với $BC,AC$ tại $C$. $(O_1)$ cắt $(O_2)$ tại $D~~(D \ne C)$. Đường thẳng $AD$ và $BD$ cắt $(O_2)$ , $(O_1)$ tại $E$ và $F$  $(E,F \ne D)$. Chứng minh đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $EF$ luôn đi qua một đường thẳng cố định. 

[huypham2811]

Gọi $K=CD\cap BC$

 

Ta có: $\widehat{DAC}=\widehat{DCB}; \widehat{DBC}=\widehat{DCA}$ => $\widehat{ADK}=\widehat{BDK}$

 

Suy ra $\frac{AD}{BD}=\frac{AK}{BK}$   (1)

 

Dễ thấy $\Delta ADC \sim \Delta CDB$ => $\frac{AD}{CD}=\frac{CA}{CB}$ và $AD.BD=CD^{2}$

 

=> $\frac{AD}{BD}=\frac{CA^{2}}{CB^{2}}$  (2)

 

(1) (2) => CD là đường đối trung của $\Delta ABC$

 

Do đó, nếu gọi T là giao điểm 2 tiếp tuyến của (O) tại B,A thì $\overline{C,D,T}$

 

$\widehat{ADB}=\widehat{ACB}+\widehat{CAD}+\widehat{CBD}=2.\widehat{ACB}=\widehat{AOB}$  =>  O,D,B,A,T đồng viên

 

Ta dễ thấy $\Delta CAF$ và $\Delta CBE$ cân tại C

 

Suy ra $\Delta FCB=\Delta ACE$   =>    AE=BF

 

Suy ra $\Delta FOB=\Delta EOA$ (3) =>  $\widehat{OFD}=\widehat{OED}$  => O,D,E,F đồng viên

 

Gọi $(I)\equiv (ODATB)$ và $(O')\equiv (ODFE)$

 

Từ (3) ta có đc: O là điểm chính giữa cung EDF   (4)

 

Gọi $T'=CT\cap (O')$

 

Vì $\widehat{CDA}=\widehat{CDB}$ nên DC là phân giác $\widehat{EDF}$

 

Suy ra T' là điểm chính giữa cung EF ko chứa D của đtròn (O')   (5)

 

Từ (4) và (5) =>  $OT'\perp EF$  và  O' là trung điểm OT'

 

Ta sẽ chứng minh đt Qua C vuông góc EF sẽ đi qua I cố định   ( Do T, O cố định => I là trung điểm OT cố định)

 

Hay ns cách khác, ta sẽ c/m:  $IC\perp EF$  <=> $IC\parallel OT'$  (*)

 

Thật vậy,  Xét (O') và đtròn điểm ( C).

 

Ta có:  $\overline{BD}.\overline{BF}=\overline{BC}^{2}$   => $P_{B/( C)}=P_{B/(O')}$

 

         tương tự   $P_{A/( C)}=P_{A/(O')}$

 

Từ 2 điều trên ta suy ra   BA là trục đẳng phương của (O') và ( C) 

 

Suy ra $O'C\perp AB \Leftrightarrow O'C\parallel OT$

 

Mà O' là trung điểm OT'   =>   C là trung điểm TT'

 

Từ đó : $IC\parallel OT'$   

 

=>  (*) đúng

 

Vậy bài toán đc chứng minh