Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyen the vinh]

Cho tam giác ABC có BC=a,CA=b,BA=c đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC,CA,AB tại $A',B',C'$ Chứng minh $a.\overrightarrow{AA'}+b.\overrightarrow{BB'}+c.\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 30-08-2015 - 19:14
Chú ý cách đặt tiêu đề

[Dinh Xuan Hung]

Cho tam giác ABC có BC=a,CA=b,BA=c đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC,CA,AB tại $A',B',C'$ Chứng minh $a.\overrightarrow{AA'}+b.\overrightarrow{BB'}+c.\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$

Kẻ $IA'\parallel AC$

Ta có:$\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IA'}=\frac{AI}{AB}.\overrightarrow{AB}+\frac{IA'}{AC}.\overrightarrow{AC}$

 

Lại có theo định lí Ta-let ta có:$\frac{AI}{AB}=\frac{A'C}{BC};\frac{IA'}{AC}=\frac{BA'}{BC}$

$\Rightarrow \frac{A'C}{BC}.\overrightarrow{AB}+\frac{A'B}{BC}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AA'}\Rightarrow a.\overrightarrow{AA'}=A'C.\overrightarrow{AB}+A'B.\overrightarrow{AC}$

 

Chứng minh tương tự:$b.\overrightarrow{BB'}=AB'.\overrightarrow{BC}+B'C.\overrightarrow{BA}$

 

$c.\overrightarrow{CC'}=AC'.\overrightarrow{CB}+BC'.\overrightarrow{CA}$

 

$\Rightarrow a.\overrightarrow{AA'}+b.\overrightarrow{BB'}+c.\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AB}(A'C-B'C)+\overrightarrow{AC}(A'B-BC')+\overrightarrow{BC}(AB'-AC')$

 

Mà:$\left\{\begin{matrix} A'C=B'C & & & \\ AB'=AC' & & & \\ BC'=BA' & & & \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow a.\overrightarrow{AA'}+b.\overrightarrow{BB'}+c.\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$

Hình gửi kèm

•