Chủ đề này có 2 trả lời

[guongmatkhongquen]

Cho ba số dương a,b,c.CMR
$\frac{4a^{2}+(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{4b^{2}+(c-a)^{2}}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+\frac{4c^{2}+(a-b)^{2}}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}\geq 3$

[Dinh Xuan Hung]

Cho ba số dương a,b,c.CMR
$\frac{4a^{2}+(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{4b^{2}+(c-a)^{2}}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+\frac{4c^{2}+(a-b)^{2}}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}\geq 3$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:$\sum\frac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2} \leq 3$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có:$\frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2} \geq \frac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}$

 

Tương tự,cộng lại ta thu đc đpcm

[phamquanglam]

Cho ba số dương a,b,c.CMR
$\frac{4a^{2}+(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{4b^{2}+(c-a)^{2}}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+\frac{4c^{2}+(a-b)^{2}}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}\geq 3$

Cách này thì không hay được bằng như  cách của đệ 

Dinh Xuan Hung

Bài làm:

Ta có: $A=\sum \frac{4a^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\sum \frac{(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-3$

Xét: $\sum \frac{4a^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-3=\sum \frac{a^{2}-b^{2}+a^{2}-c^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sum (a^{2}-b^{2})(\frac{1}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{1}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}})=\sum \frac{(a-b)^{2}(a+b)^{2}}{(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(2b^{2}+c^{2}+a^{2})}$

Nên $A=\sum \frac{(a-b)^{2}(a+b)^{2}}{(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(2b^{2}+c^{2}+a^{2})}+\sum \frac{(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sum (a-b)^{2}(\frac{(a+b)^{2}}{(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(2b^{2}+c^{2}+a^{2})}+\frac{1}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}})\geq 0$

Suy ra điều phải chứng minh     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 30-08-2015 - 20:11