Cho tam giác ABC đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với canhb BC tại D.Gọi J,K tương ứng là trung điểm của BC và AD.chứng minh rằng 3 điểm I,K,J thẳng hàng.(chứng minh bằng vecto giúp em nhé các pro)
Cho tam giác ABC đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh BC tại D
#1
Đã gửi 30-08-2015 - 23:11
#2
Đã gửi 04-09-2015 - 10:43
Đặt AC = b; AB = c; BC = a.
Dễ thấy BD = p-b; DC = p-c.( với p là nửa chu vi của tam giác ABC).
Ta có: (p-b).$\underset{DC}{\rightarrow}$ + (p-c).$\underset{DB}{\rightarrow}$ = 0
<=> (p-b). ($\underset{DI}{\rightarrow}$-$\underset{BI}{\rightarrow}$) + ($\underset{DI}{\rightarrow}$-$\underset{CI}{\rightarrow}$ = 0.
=> (p-c). $\underset{IB}{\rightarrow}$ + (p-b).$\underset{IC}{\rightarrow}$ = $\underset{ID}{\rightarrow}$.(p-c+p-b)
<=> a.$\underset{ID}{\rightarrow}$ = (p-c).$\underset{IB}{\rightarrow}$ + (p-b).$\underset{IC}{\rightarrow}$.(1)
Do K, J tương ứng là trung điểm của hai cạnh AD và BC.
Do đó, theo hệ thức trung điểm ta có: $\underset{IA}{\rightarrow}$ + $\underset{ID}{\rightarrow}$ = 2. $\underset{IA}{\rightarrow}$
<=> a.$\underset{IA}{\rightarrow}$ + a.$\underset{ID}{\rightarrow}$ = 2.a.$\underset{IA}{\rightarrow}$.(2)
Thay (1) vào (2) ta có: 2.a.$\underset{IK}{\rightarrow}$ =a.$\underset{IA}{\rightarrow}$ + (p-c).$\underset{IB}{\rightarrow}$ + (p-b).$\underset{IC}{\rightarrow}$.(3)
Mặt khác: J trung điểm BC của tam giác IBC => $\underset{IB}{\rightarrow}$ + $\underset{IC}{\rightarrow}$ = 2.$\underset{IJ}{\rightarrow}$
=> (p-a).$\underset{IC}{\rightarrow}$ + (p-a).$\underset{IB}{\rightarrow}$ = 2.(p-a).$\underset{IJ}{\rightarrow}$ (4)
Từ (3) và (4) => 2.a.$\underset{IK}{\rightarrow}$ + 2.(p-a).$\underset{IJ}{\rightarrow}$ = a.$\underset{IA}{\rightarrow}$ + b.$\underset{IB}{\rightarrow}$ + c.$\underset{IC}{\rightarrow}$
Ta lại có: a.$\underset{IA}{\rightarrow}$ + b.$\underset{IB}{\rightarrow}$ + c.$\underset{IC}{\rightarrow}$ = 0 ( I là tâm tỉ cự của A,B,C theo bộ số a,b,c)
Do đó: 2.a.$\underset{IK}{\rightarrow}$ + 2.(p-a).$\underset{IJ}{\rightarrow}$ = 0.
Từ đây => I, J, K thẳng hàng )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duong Nhi: 04-09-2015 - 10:45
- Hoang Nhat Tuan yêu thích
#3
Đã gửi 04-09-2015 - 10:51
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh