Chủ đề này có 1 trả lời

[NMDuc98]

Chứng minh rằng nếu $1+2^n+4^n$ ( với $n \in \mathbb{N}$ ) là số nguyên tố thì $n=3^k$ với $k \in \mathbb{N}$.

 

PS: Cần một lời giải mới!

[Rias Gremory]

Chứng minh rằng nếu $1+2^n+4^n$ ( với $n \in \mathbb{N}$ ) là số nguyên tố thì $n=3^k$ với $k \in \mathbb{N}$.

 

PS: Cần một lời giải mới!

Giả sử $n=3^k.r$ với $k\in Z^{+}$ còn $r\in N$ là số không chia hết cho $3$

Ta chứng minh rằng số $p=1+2^n+4^n$ chia hết cho số $q=1+2^{3^k}+4^{3^k}$

Xét hai trường hợp : 

$\bullet r=3s+1,s\in Z^{+}$ . Ta có :

$p-q=(2^n-2^{3^k})+(4^n-4^{3^k})=2^{3^k}(2^{3^k.3s}-1)+4^{3^k}(2^{3^k.6s}-1)\equiv 0(mod(2^{3^k.3}-1))$

Vì $2^{3^k.3}-1=(2^{3^k}-1)(1+2^{3^k}+4^{3^k})=(2^{3^k}-1)q$

Nên $q|p-q\Rightarrow q|p$

$\bullet r=3s+2,s\in Z^{+}$ . Ta có

$p-q=(4^n-2^{3^k})+(2^n-4^{3^k})=2^{3^k}(2^{3^k.3(2s+1)}-1)+2^{2.3^k}(2^{3^k.3s}-1)\equiv 0(mod(2^{3^k.3}-1))$

Tương tự trường hợp trên suy ra $q|p$

Như vậy nếu $p$ là số nguyên tố thì nó bằng ước số $q>1$ của nó nghĩa là $n=3^k$ (ĐPCM)