Chủ đề này có 2 trả lời

[an1907]

Hãy xác định số thực lớn nhất M sao cho bất đẳng thức sau :

$\left | ab(a^{2} - b^{2}) + bc(b^{2} - c^{2}) + ca(c^{2} - a^{2}) \right | \leq M(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2}$ đúng với mọi số thực $a, b, c.$

[binhnhaukhong]

Bài viết mang tính chất gợi ý:

 

Ta có thể chuyển bài toán thành tìm GTLN của $P$ trong đó:

 

$P=\frac{\left | (a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)\right |}{(a^2+b^2+c^2)^2}$

 

Bởi tính thuần nhất có thể lấy $p=1$ và áp dụng đẳng thức sau:

 

$\left| (a-b)(b-c)(c-a)\right |=\sqrt{q^2-4q^3+2(9q-2)r-27r^2}$ 

 

Khi đó $P=\frac{\sqrt{q^2-4q^3+2(9q-2)r-27r^2}}{(1-2q)^2}\leq \frac{2(1-3q)\sqrt{3(1-3q)}}{9(1-2q)^2}=f(q)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 01-09-2015 - 14:53

[Hoang Nhat Tuan]

Bài viết mang tính chất gợi ý:

 

Ta có thể chuyển bài toán thành tìm GTLN của $P$ trong đó:

 

$P=\frac{\left | (a-b)(b-c)(c-a)\right |}{(a^2+b^2+c^2)^2}$

 

Bởi tính thuần nhất có thể lấy $p=1$ và áp dụng đẳng thức sau:

 

$\left| (a-b)(b-c)(c-a)\right |=\sqrt{q^2-4q^3+2(9q-2)r-27r^2}$ 

 

Khi đó $P=\frac{\sqrt{q^2-4q^3+2(9q-2)r-27r^2}}{(1-2q)^2}\leq \frac{2(1-3q)\sqrt{3(1-3q)}}{9(1-2q)^2}=f(q)$

Hơi liên quan: Anh binhnhaukhong đã trở lại

Gợi ý: Chuẩn hóa $p=1$. 

Dùng phép biến đổi:

$\left [ 3(a^2+b^2+c^2) \right ]^2=\left [ 2(a-b)^2+(a+b+c)^2+2(a-c)(b-c) \right ]^2$

Tới đây AM-GM 2 lần