Hãy xác định số thực lớn nhất M sao cho bất đẳng thức sau :
$\left | ab(a^{2} - b^{2}) + bc(b^{2} - c^{2}) + ca(c^{2} - a^{2}) \right | \leq M(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2}$ đúng với mọi số thực $a, b, c.$
Hãy xác định số thực lớn nhất M sao cho bất đẳng thức sau :
$\left | ab(a^{2} - b^{2}) + bc(b^{2} - c^{2}) + ca(c^{2} - a^{2}) \right | \leq M(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2}$ đúng với mọi số thực $a, b, c.$
Bài viết mang tính chất gợi ý:
Ta có thể chuyển bài toán thành tìm GTLN của $P$ trong đó:
$P=\frac{\left | (a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)\right |}{(a^2+b^2+c^2)^2}$
Bởi tính thuần nhất có thể lấy $p=1$ và áp dụng đẳng thức sau:
$\left| (a-b)(b-c)(c-a)\right |=\sqrt{q^2-4q^3+2(9q-2)r-27r^2}$
Khi đó $P=\frac{\sqrt{q^2-4q^3+2(9q-2)r-27r^2}}{(1-2q)^2}\leq \frac{2(1-3q)\sqrt{3(1-3q)}}{9(1-2q)^2}=f(q)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 01-09-2015 - 14:53
Quy Ẩn Giang Hồ.
So goodbye!
Bài viết mang tính chất gợi ý:
Ta có thể chuyển bài toán thành tìm GTLN của $P$ trong đó:
$P=\frac{\left | (a-b)(b-c)(c-a)\right |}{(a^2+b^2+c^2)^2}$
Bởi tính thuần nhất có thể lấy $p=1$ và áp dụng đẳng thức sau:
$\left| (a-b)(b-c)(c-a)\right |=\sqrt{q^2-4q^3+2(9q-2)r-27r^2}$
Khi đó $P=\frac{\sqrt{q^2-4q^3+2(9q-2)r-27r^2}}{(1-2q)^2}\leq \frac{2(1-3q)\sqrt{3(1-3q)}}{9(1-2q)^2}=f(q)$
Hơi liên quan: Anh binhnhaukhong đã trở lại
Gợi ý: Chuẩn hóa $p=1$.
Dùng phép biến đổi:
$\left [ 3(a^2+b^2+c^2) \right ]^2=\left [ 2(a-b)^2+(a+b+c)^2+2(a-c)(b-c) \right ]^2$
Tới đây AM-GM 2 lần
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh