Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{1}{(2a+b+c)^{2}}\leq \frac{3}{16}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
cachcach10x

cachcach10x

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

a,b,c>0 thỏa mãn:$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.CMR

$\sum \frac{1}{(2a+b+c)^{2}}\leq \frac{3}{16}$


A naughty girl :luoi:  :luoi:  :luoi:  


#2
the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết

a,b,c>0 thỏa mãn:$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.CMR

$\sum \frac{1}{(2a+b+c)^{2}}\leq \frac{3}{16}$

$P=\sum \frac{1}{(2a+b+c)^2}=\sum \frac{1}{[(a+b)+(a+c)]^2}\leq \sum \frac{1}{4(a+b)(a+c)}=\frac{a+b+c}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{a+b+c}{2.\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)}=\frac{9}{16(ab+bc+ca)}$

                (vì ta có bđt quen thuộc $(a+b)(b+c)(c+a) \geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

Do   $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Rightarrow ab+bc+ca=abc(a+b+c)\leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{3}$

       $\Rightarrow ab+bc+ac\geq 3\Rightarrow P\leq \frac{9}{16.3}=\frac{3}{16}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker


#3
cachcach10x

cachcach10x

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Chứng minh BĐT $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$ kiểu gì ạ?


A naughty girl :luoi:  :luoi:  :luoi:  


#4
Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết

Chứng minh BĐT $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$ kiểu gì ạ?

Ta có: $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)-\frac{1}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

 

(Theo AM-GM)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 01-09-2015 - 00:23

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#5
TruongQuangTan

TruongQuangTan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết

cai nay la cai j vay a, e chua hoc $\sum$



#6
quan1234

quan1234

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 257 Bài viết

cai nay la cai j vay a, e chua hoc $\sum$

Đấy là kí hiệu tổng hoán vị

VD $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$ thì viết thành $\sum \frac{a}{b+c}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh