Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

Phương pháp truy ngược biểu thức tính tổng của một dãy số


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 17 trả lời

#1 etucgnaohtn

etucgnaohtn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Ngắm like tăng dần

Đã gửi 01-09-2015 - 04:17

Lời nói đầu : Đây là phương pháp mình nghĩ ra năm lớp 11 
Ý tưởng xuất phát từ 1 tiết học , thầy giáo ra một bài toán liên quan đến việc tính tổng của dãy số sau 
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=?$
Vấn đề đặt ra là tìm dấu $?$
Vấn đề này khiến cả lớp đau đầu suy nghĩ 
1 phút , 2 phút rồi 3 phút ... chẳng có ai làm ra 
Thấy vậy , thầy Tình liền điền vào dấu $?$
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2$
Nhiều tiếng xôn xao rộn ràng reo lên , làm sao để tìm được dấu hỏi chấm đang là vấn đề HOT được cả lớp bàn tán sôi nổi
Cả tiết học đó , mình chỉ chăm chú vào dòng công thức trên bảng 
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2$
Đến khi nhìn sang biểu thức bên phải thì " Thôi xong ! Thì ra là vậy "
Thì ra ý tưởng rất đơn giản , như tiêu đề , truy ngược biểu thức để tìm tổng của dãy số 
Các bạn thử làm các ví dụ sau rồi mình sẽ trình bày ý tưởng 
$1.2+2.3+...+n(n+1)=?$
$1.3.2^2+2.4.3^2+...+n(n+1)^2(n+2)=?$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 01-09-2015 - 04:53

Tác giả :

 

Lương Đức Nghĩa 

 

 


#2 Silverbullet069

Silverbullet069

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Fairy Tail
  • Sở thích:Anime , light novel và origami (khó)

Đã gửi 01-09-2015 - 07:38

$1.2+2.3+...+n(n+1)=?$
$1.3.2^2+2.4.3^2+...+n(n+1)^2(n+2)=?$

$S = 1.2+2.3+...+n(n+1)$

$\Rightarrow 3S = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + ... + n(n + 1)[n + 2 - (n - 1)]$

$\Rightarrow 3S = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ... + n(n + 1)(n + 2) - n(n + 1)(n - 1)$

$\Rightarrow 3S = n(n + 1)(n + 2)$

$\Rightarrow S = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$


"I am the bone of my sword,

 

Unknown to Death, Nor known to Life,

 

So as I pray, unlimited blade works."

 

 


#3 gianglqd

gianglqd

    Trung úy

  • Thành viên
  • 894 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định - GF
  • Sở thích:Xem Gravity Falls, Mabel Pines and Waddles, Manchester United

Đã gửi 01-09-2015 - 14:52

 

Lời nói đầu : Đây là phương pháp mình nghĩ ra năm lớp 11 
Ý tưởng xuất phát từ 1 tiết học , thầy giáo ra một bài toán liên quan đến việc tính tổng của dãy số sau 
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=?$
Vấn đề đặt ra là tìm dấu $?$
Vấn đề này khiến cả lớp đau đầu suy nghĩ 
1 phút , 2 phút rồi 3 phút ... chẳng có ai làm ra 
Thấy vậy , thầy Tình liền điền vào dấu $?$
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2$
Nhiều tiếng xôn xao rộn ràng reo lên , làm sao để tìm được dấu hỏi chấm đang là vấn đề HOT được cả lớp bàn tán sôi nổi
Cả tiết học đó , mình chỉ chăm chú vào dòng công thức trên bảng 
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2$
Đến khi nhìn sang biểu thức bên phải thì " Thôi xong ! Thì ra là vậy "
Thì ra ý tưởng rất đơn giản , như tiêu đề , truy ngược biểu thức để tìm tổng của dãy số 
Các bạn thử làm các ví dụ sau rồi mình sẽ trình bày ý tưởng 
$1.2+2.3+...+n(n+1)=?$
$1.3.2^2+2.4.3^2+...+n(n+1)^2(n+2)=?$

 

Ta có thể CM tổng:

$A= 1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=(n+1)^{2}$

bằng quy nạp hoặc truy hồi


Mabel Pines - Gravity Falls

 

 

                                                        

 


#4 etucgnaohtn

etucgnaohtn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Ngắm like tăng dần

Đã gửi 01-09-2015 - 18:44

Ta có thể CM tổng:

$A= 1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=(n+1)^{2}$

bằng quy nạp hoặc truy hồi

Câu hỏi đặt ra là làm sao để tìm được vế phải chứ ko phải chứng minh đẳng thức khi đã biết vế phải !


Tác giả :

 

Lương Đức Nghĩa 

 

 


#5 quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Ngãi
  • Sở thích:Toán học,Vật lý lý thuyết, âm nhạc,thể thao, phim.

Đã gửi 01-09-2015 - 18:57

Cách chứng minh công thức này ko theo quy nạp có trong sách Vũ Hữu Bình lớp 8 9 gì đó mà, chứng minh khá dễ hiểu, dựa vào khai triển: $(a+b)^{3}$


Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#6 etucgnaohtn

etucgnaohtn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Ngắm like tăng dần

Đã gửi 01-09-2015 - 20:07

Cách chứng minh công thức này ko theo quy nạp có trong sách Vũ Hữu Bình lớp 8 9 gì đó mà, chứng minh khá dễ hiểu, dựa vào khai triển: $(a+b)^{3}$

Bạn không hiểu câu hỏi rồi

$1^3+2^3+3^3+...+n^3=?$
Tìm dấu hỏi chấm 
Có ai bảo bạn đi chứng minh công thức đâu


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 01-09-2015 - 20:07

Tác giả :

 

Lương Đức Nghĩa 

 

 


#7 quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Ngãi
  • Sở thích:Toán học,Vật lý lý thuyết, âm nhạc,thể thao, phim.

Đã gửi 01-09-2015 - 20:35

Bạn không hiểu câu hỏi rồi

$1^3+2^3+3^3+...+n^3=?$
Tìm dấu hỏi chấm 
Có ai bảo bạn đi chứng minh công thức đâu

Thì chứng minh là tìm mà, chưa hề biết trước công thức


Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#8 etucgnaohtn

etucgnaohtn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Ngắm like tăng dần

Đã gửi 01-09-2015 - 21:19

Thì chứng minh là tìm mà, chưa hề biết trước công thức

Chứng minh không phải là tìm
Tìm nghĩa là ta chỉ biết $1^3+2^3+3^3+...+n^3$ , chưa biết vế phải , sẽ đi tìm vế phải 

Còn chứng minh nghĩa là đã biết vế phải , việc chứng minh bằng quy nạp thì quá dễ rồi 

Cái tôi cần là bạn nêu ra ý tưởng để lấp vào dấu hỏi chấm : $1^3+2^3+3^3+...+n^3=?$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 01-09-2015 - 21:20

Tác giả :

 

Lương Đức Nghĩa 

 

 


#9 quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Ngãi
  • Sở thích:Toán học,Vật lý lý thuyết, âm nhạc,thể thao, phim.

Đã gửi 01-09-2015 - 21:50

Chứng minh không phải là tìm
Tìm nghĩa là ta chỉ biết $1^3+2^3+3^3+...+n^3$ , chưa biết vế phải , sẽ đi tìm vế phải 

Còn chứng minh nghĩa là đã biết vế phải , việc chứng minh bằng quy nạp thì quá dễ rồi 

Cái tôi cần là bạn nêu ra ý tưởng để lấp vào dấu hỏi chấm : $1^3+2^3+3^3+...+n^3=?$

Haizz, ý tôi nói chứng minh trong sách Vũ Hữu Bình nghĩa là dùng chữ chứng minh thay chữ bài giải chứ ko phải nói rằng đề bài là chứng minh công thức nhé, đầu tiên tìm công thức cho mũ 2 rồi sử dụng khai triển $(a+b)^{3}$ đề tìm CT cho mũ 3


Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#10 quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Ngãi
  • Sở thích:Toán học,Vật lý lý thuyết, âm nhạc,thể thao, phim.

Đã gửi 01-09-2015 - 21:58

http://diendantoanho...-s-13-23-33-n3/

Ở đây có vài cách tính tổng này đấy!!!


Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#11 bui cong luan

bui cong luan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-09-2015 - 23:15

$1.3.2^2+2.4.3^2+...+n(n+1)^2(n+2)=?$
Ai tìm được dấu hỏi chấm nào , mình sẽ thưởng 10k card điện thoại cho bạn nào đoán đúng ý tưởng của mình !

Có gì đâu: Kết quả là: $\frac{(n-1)n(n+1)(n+2)(2n+1)}{10}$



#12 bui cong luan

bui cong luan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-09-2015 - 00:12

Mình tìm ra một số công thức này, nhưng vẫn chưa phát hiện ra điều gì cả:  :ohmy:

$1+2+3+...+n=\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n$

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{1}{3}n^{3}+\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{6}n$

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\frac{1}{4}n^{4}+\frac{1}{2}n^{3}+\frac{1}{4}n^{2}$

$1^{4}+2^{4}+3^{4}+...+n^{4}=\frac{1}{5}n^{5}+\frac{1}{2}n^{4}+\frac{1}{3}n^{3}-\frac{1}{30}n$

$1^{5}+2^{5}+3^{5}+...+n^{5}=\frac{1}{6}n^{6}+\frac{1}{2}n^{5}+\frac{5}{12}n^{4}-\frac{1}{12}n^{2}$

$1^{6}+2^{6}+3^{6}+...+n^{6}=\frac{1}{7}n^{7}+\frac{1}{2}n^{6}+\frac{1}{2}n^{5}-\frac{1}{6}n^{3}+\frac{1}{42}n$



#13 viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 242 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Vĩnh Phúc

Đã gửi 28-09-2015 - 23:28

 

Mình tìm ra một số công thức này, nhưng vẫn chưa phát hiện ra điều gì cả:   :ohmy:

$1+2+3+...+n=\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n$

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{1}{3}n^{3}+\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{6}n$

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\frac{1}{4}n^{4}+\frac{1}{2}n^{3}+\frac{1}{4}n^{2}$

$1^{4}+2^{4}+3^{4}+...+n^{4}=\frac{1}{5}n^{5}+\frac{1}{2}n^{4}+\frac{1}{3}n^{3}-\frac{1}{30}n$

$1^{5}+2^{5}+3^{5}+...+n^{5}=\frac{1}{6}n^{6}+\frac{1}{2}n^{5}+\frac{5}{12}n^{4}-\frac{1}{12}n^{2}$

$1^{6}+2^{6}+3^{6}+...+n^{6}=\frac{1}{7}n^{7}+\frac{1}{2}n^{6}+\frac{1}{2}n^{5}-\frac{1}{6}n^{3}+\frac{1}{42}n$

Em bổ sung nốt đến bậc 10 luôn ạ  :mellow:

$1^{7}+2^{7}+..+n^{7}=\frac{1}{8}n^8+\frac{1}{2}n^7+\frac{7}{12}n^6-\frac{7}{24}n^4+\frac{1}{12}n^2$

$1^{8}+2^{8}+..+n^{8}=\frac{1}{9}n^9+\frac{1}{2}n^8+\frac{2}{3}n^7-\frac{7}{15}n^5+\frac{2}{9}n^3-\frac{1}{30}n$

$1^{9}+2^{9}+..+n^{9}=\frac{1}{10}n^{10}+\frac{1}{2}n^9+\frac{3}{4}n^8-\frac{7}{10}n^6+\frac{1}{2}n^4-\frac{3}{20}n^2$

$1^{10}+2^{10}+..+n^{10}=\frac{1}{11}n^{11}+\frac{1}{2}n^{10}+\frac{5}{6}n^9-n^7+n^5-\frac{1}{2}n^3+\frac{5}{66}n$

 

 

Lời nói đầu : Đây là phương pháp mình nghĩ ra năm lớp 11 
Ý tưởng xuất phát từ 1 tiết học , thầy giáo ra một bài toán liên quan đến việc tính tổng của dãy số sau 
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=?$
Vấn đề đặt ra là tìm dấu $?$
Vấn đề này khiến cả lớp đau đầu suy nghĩ 
1 phút , 2 phút rồi 3 phút ... chẳng có ai làm ra 
Thấy vậy , thầy Tình liền điền vào dấu $?$
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2$
Nhiều tiếng xôn xao rộn ràng reo lên , làm sao để tìm được dấu hỏi chấm đang là vấn đề HOT được cả lớp bàn tán sôi nổi
Cả tiết học đó , mình chỉ chăm chú vào dòng công thức trên bảng 
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2$
Đến khi nhìn sang biểu thức bên phải thì " Thôi xong ! Thì ra là vậy "
Thì ra ý tưởng rất đơn giản , như tiêu đề , truy ngược biểu thức để tìm tổng của dãy số 
Các bạn thử làm các ví dụ sau rồi mình sẽ trình bày ý tưởng 
$1.2+2.3+...+n(n+1)=?$
$1.3.2^2+2.4.3^2+...+n(n+1)^2(n+2)=?$

 

Thực ra mình nghĩ cách của bạn chỉ là 1 cách tìm nhanh ra kết quả tuy nhiên cách này không phải là cách chứng minh đẳng thức. Còn về việc tìm nhanh như thế nào thì có nhiều cách để tìm mà  :D


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic


#14 longmy

longmy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết

Đã gửi 15-06-2017 - 10:54

DÙNG CALC 100 TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA TỔNG DÃY SỐ

Mở đầu

Dùng CALC 100 có thể giải được hầu hết các bài toán trên. Các bạn làm thử nhé, sau đây là một ví dụ

Ví dụ

Tìm công thức tổng quát của $ S_n=\sum_{y=1}^{n} \frac{4y^2-12y+9}{(y+3)(y+2)(y+1)y}. $

Đặt $ S_n=\sum_{y=1}^{n} \frac{4y^2-12y+9}{(y+3)(y+2)(y+1)y}.$
Ta có
 + $ S_{100}=\sum_{y=1}^{100}\frac{4y^2-12y+9}{(y+3)(y+2)(y+1)y}=\frac{245075}{530553}; $
 + $ 245075 \times 4=980300; $
 + $ 530553\times 2=1061106. $

Suy ra
$\frac{4}{2} S_{100} =\frac{980300}{1061106}$

 

$\rightarrow 2S_{n} =\frac{98/03/00}{1/06/11/06}$

 

$\rightarrow 2S_{n} =\frac{0/98/03/00}{1/06/11/06}$

 

$\rightarrow 2S_{n} =\frac{(0+1)/(98-100)/3/0}{1/6/11/6}$

 

$\rightarrow 2S_{n} =\frac{1/-2/3/0}{1/6/11/6}$

 

$\rightarrow 2S_{n} =\frac{1n^3-2n^2+3n+0}{n^3+6n^2+11n+6}$

 

$\Rightarrow S_{n} =\frac{n^3-2n^2+3n}{2(n^3+6n^2+11n+6)}$

 

$\Leftrightarrow S_{n} =\frac{n^3-2n^2+3n}{2(n+1)(n+2)(n+3)}.$
 

Hạn chế

Phương pháp này chưa thể hiện rõ cách tìm số thích hợp để nhân lên. Nếu đa thức có mẫu bằng 1 thì theo kinh nghiệm ta có thể nhân thêm cho các ước của (bậc+1)!, tối đa là nhân với (bậc+1)!. Nhưng nếu là phân thức thì... cần có những nghiên cứu tiếp theo.

 

Phiên bản tiếng Anh của bài viết đã được đăng lên https://math.stackex...2323211#2323211


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longmy: 15-06-2017 - 10:57


#15 etucgnaohtn

etucgnaohtn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Ngắm like tăng dần

Đã gửi 15-06-2017 - 11:09

DÙNG CALC 100 TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA TỔNG DÃY SỐ
Mở đầu
Dùng CALC 100 có thể giải được hầu hết các bài toán trên. Các bạn làm thử nhé, sau đây là một ví dụ
Ví dụ
Tìm công thức tổng quát của $ S_n=\sum_{y=1}^{n} \frac{4y^2-12y+9}{(y+3)(y+2)(y+1)y}. $
Đặt $ S_n=\sum_{y=1}^{n} \frac{4y^2-12y+9}{(y+3)(y+2)(y+1)y}.$
Ta có
 + $ S_{100}=\sum_{y=1}^{100}\frac{4y^2-12y+9}{(y+3)(y+2)(y+1)y}=\frac{245075}{530553}; $
 + $ 245075 \times 4=980300; $
 + $ 530553\times 2=1061106. $
Suy ra
$\frac{4}{2} S_{100} =\frac{980300}{1061106}$
 
$\rightarrow 2S_{n} =\frac{98/03/00}{1/06/11/06}$
 
$\rightarrow 2S_{n} =\frac{0/98/03/00}{1/06/11/06}$
 
$\rightarrow 2S_{n} =\frac{(0+1)/(98-100)/3/0}{1/6/11/6}$
 
$\rightarrow 2S_{n} =\frac{1/-2/3/0}{1/6/11/6}$
 
$\rightarrow 2S_{n} =\frac{1n^3-2n^2+3n+0}{n^3+6n^2+11n+6}$
 
$\Rightarrow S_{n} =\frac{n^3-2n^2+3n}{2(n^3+6n^2+11n+6)}$
 
$\Leftrightarrow S_{n} =\frac{n^3-2n^2+3n}{2(n+1)(n+2)(n+3)}.$
 
Hạn chế
Phương pháp này chưa thể hiện rõ cách tìm số thích hợp để nhân lên. Nếu đa thức có mẫu bằng 1 thì theo kinh nghiệm ta có thể nhân thêm cho các ước của (bậc+1)!, tối đa là nhân với (bậc+1)!. Nhưng nếu là phân thức thì... cần có những nghiên cứu tiếp theo.
 
Phiên bản tiếng Anh của bài viết đã được đăng lên https://math.stackex...2323211#2323211

Vậy là sau gần 2 năm đã có người đoán ra ý tưởng của mình
Mình có lời khen dành cho Mai Hoàn Hảo ... nhưng pp này vẫn có hạn chế , đó là nếu biểu thức bên phải là phân số hoặc hệ số là phân số thì ta cần dùng tới 2 thuật toán nữa để giải quyết
Xin dành phần đó cho bạn đọc tự nghiên cứu

Tác giả :

 

Lương Đức Nghĩa 

 

 


#16 longmy

longmy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết

Đã gửi 15-06-2017 - 15:03

Vậy là sau gần 2 năm đã có người đoán ra ý tưởng của mình
Mình có lời khen dành cho Mai Hoàn Hảo ... nhưng pp này vẫn có hạn chế , đó là nếu biểu thức bên phải là phân số hoặc hệ số là phân số thì ta cần dùng tới 2 thuật toán nữa để giải quyết
Xin dành phần đó cho bạn đọc tự nghiên cứu

 

Theo mình thì còn 1 vấn đề nữa, nếu như đề bài cho tổng của hàm số mũ ($2^x$, $3^x$, ... , nói chung là đưa hàm siêu việt vào) thì cách này có thể gặp trở ngại.



#17 STARLORD

STARLORD

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

Đã gửi 18-06-2017 - 19:04

Éc, nick longmy là của anh/chị Mai Hoàn Hảo trên facebook đó hả :v

em Hùng nolan thánh bóc phốt''s đây :v



#18 thoai6cthcstqp

thoai6cthcstqp

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thpt Thanh Chương 1, Nghệ An
  • Sở thích:Éo có

Đã gửi 30-06-2017 - 11:19

à Hùng Nolan .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thoai6cthcstqp: 30-06-2017 - 11:23

VML <3





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh