Cho a,b >0, a+b=1. Chứng minh $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\geq 9$
Chứng minh $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\geq 9$
Bắt đầu bởi bachmahoangtu2003, 02-09-2015 - 16:58
#1
Đã gửi 02-09-2015 - 16:58
#2
Đã gửi 02-09-2015 - 17:04
Ta có :
$(1 + \frac{1}{a})(1 + \frac{1}{b}) = 1 + \frac{a + b + 1}{ab} \geq 1 + \frac{2}{\frac{(a + b)^{2}}{4}} = 9$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$
- hsNamHong, thanhan2000, bachmahoangtu2003 và 5 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 04-09-2015 - 22:45
Cho a,b >0, a+b=1. Chứng minh $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\geq 9$
BĐT$\Leftrightarrow (1+\frac{a+b}{a})(1+\frac{a+b}{b})\geq 9$
$\Leftrightarrow (2+\frac{b}{a})(2+\frac{a}{b})\geq 9$
$\Leftrightarrow 5+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\geq 9$
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
$\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\geq 2\sqrt{\frac{2a}{b}.\frac{2b}{a}}=4$
$\Rightarrow 5+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\geq 5+4=9$
- bachmahoangtu2003 yêu thích
A naughty girl
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh