Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\geq 9$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
bachmahoangtu2003

bachmahoangtu2003

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Cho a,b >0, a+b=1. Chứng minh $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\geq 9$



#2
an1907

an1907

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết

Ta có :

$(1 + \frac{1}{a})(1 + \frac{1}{b}) = 1 + \frac{a + b + 1}{ab} \geq 1 + \frac{2}{\frac{(a + b)^{2}}{4}} = 9$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$



#3
cachcach10x

cachcach10x

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Cho a,b >0, a+b=1. Chứng minh $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\geq 9$

BĐT$\Leftrightarrow (1+\frac{a+b}{a})(1+\frac{a+b}{b})\geq 9$

       $\Leftrightarrow (2+\frac{b}{a})(2+\frac{a}{b})\geq 9$

       $\Leftrightarrow 5+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\geq 9$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

                      $\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\geq 2\sqrt{\frac{2a}{b}.\frac{2b}{a}}=4$

                      $\Rightarrow 5+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\geq 5+4=9$


A naughty girl :luoi:  :luoi:  :luoi:  





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh