Chủ đề này có 1 trả lời

[duyanhle]

Cho $\frac{1}{3 }\leq a;b;c\leq 1$. Chứng minh :

$\frac{a}{1+cb} +\frac{b}{1+ac} +\frac{c}{1+ab} \leq 1,9$

[Hoang Long Le]

Cho $\frac{1}{3 }\leq a;b;c\leq 1$. Chứng minh :

$\frac{a}{1+cb} +\frac{b}{1+ac} +\frac{c}{1+ab} \leq 1,9$

 Ta sẽ chứng minh một bất đẳng thức phụ sau :

$$\frac{a}{1+bc}\leq \frac{19a}{10(a+b+c)}\Leftrightarrow 19(1+bc)\geq 10(a+b+c)$$

 Do $a,b,c\in \left [ \frac{1}{3};1 \right ]\Rightarrow (b-1)(c-1)\geq 0\Leftrightarrow bc+1\geq b+c\Leftrightarrow 10(bc+1)\geq 10(b+c)$

 Nên ta chỉ cần chứng minh $9(bc+1)\geq 10a$

 Luôn đúng vì $9(bc+1)\geq 9.\left ( \frac{1}{9}+1 \right )=10\geq 10a$

 Vậy bất đẳng thức được chứng minh, thiết lập với các số còn lại tương tự rồi cộng lại

 Dấu bằng không xảy ra, hay nói cách khác, đề phải là $\frac{a}{1+cb} +\frac{b}{1+ac} +\frac{c}{1+ab} < 1,9$