Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\leq \frac{3}{x+y+z}$

bat dang thuc

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
nguyentung6886

nguyentung6886

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Cho $0 \leq x,y,z \leq 1$. Chứng minh rằng

$\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\leq \frac{3}{x+y+z}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 05-09-2015 - 17:35


#2
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

Cho $0 \leq x,y,z \leq 1$. Chứng minh rằng

$\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\leq \frac{3}{x+y+z}$

BĐT cần chứng minh tương đương với$\sum \frac{x}{1+y+zx}\leq \frac{3}{x+y+z} \Leftrightarrow \sum (\frac{x}{1+y+zx} -\frac{1}{x+y+z}) \leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{(x-1)(x+y+1)}{1+y+zx} +\frac{(y-1)(y+z+1)}{1+z+xy} +\frac{(z-1)(z+x+1)}{1+x+yz} \leq 0$ (Điều này luôn đúng vì $0\leq x,y,z\leq 1$)



#3
hieu31320001

hieu31320001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

Cho $0 \leq x,y,z \leq 1$. Chứng minh rằng

$\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\leq \frac{3}{x+y+z}$

$ \large 0 \leq x,y,z \leq 1  \Rightarrow (x-1)(z-1)  \geq 0  \Leftrightarrow xz-z-x+1  \geq 0  \Leftrightarrow xz + y + 1  \geq x+z-1+y+1 \  \Leftrightarrow xz+y+1  \geq x+y+z       Suy ra :  \frac{x}{1+y+xz}  \leq  \frac{x}{x+y+z}  \leq  \frac{1}{x+y+z}   Tương  tự  \frac{y}{1+z+yz} \leq  \frac{1}{x+y+z} ;  \frac{z}{1+x+yz} \leq \frac{1}{x+y+z}     Cộng     3    bất    đẳng  thức  trên  vế  theo  vế  ,  ta  được  đpcm ( dấu  bằng   xảy    ra   khi  x = y = z = 1 ) $ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieu31320001: 07-09-2015 - 17:18

Knowing both victory and defeat.That is the way you become a real man-Shanks


#4
hieu31320001

hieu31320001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

$\large 0\leq x,y,z\leq 1 \Rightarrow (x-1)(z-1) \geq 0 \Leftrightarrow xz-z-x+1 \geq 0 \Leftrightarrow xz + y + 1 \geq x+z-1+y+1 \Leftrightarrow xz+y+1 \geq x+y+z Suy ra : \frac{x}{1+y+xz} \leq \frac{x}{x+y+z} \leq \frac{1}{x+y+z} Tương tự \frac{y}{1+z+yz}\leq \frac{1}{x+y+z} ; \frac{z}{1+x+yz} \leq \frac{1}{x+y+z} Cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế , ta được đpcm ( dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1)$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieu31320001: 07-09-2015 - 17:15

Knowing both victory and defeat.That is the way you become a real man-Shanks






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bat dang thuc

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh