Cho các số nguyên dương $b, n$. GIả sử với mỗi $k>1$ luôn tồn tại số nguyên $a_k$ sao cho $b-(a_k)^n$ chia hết cho $k$.
Chứng minh rằng $b$ là lũy thừa $n$ của một số nguyên.
giả sử $b=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha _t}$
chọn $\forall i=\overline{1,t}:k=p_i^{\alpha_ i+1}\Rightarrow \exists a_j:\left\{\begin{matrix} b\equiv a_j^n\equiv 0(mod\ p_i^{\alpha _i})\\b\equiv a_j^n\not\equiv 0(mod\ p_i^{\alpha _i+1}) \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow v_p(b)=v_p(a_j^n)\Rightarrow \alpha _i=nv_p(a_j)\Rightarrow n \mid \alpha _i,\forall i=\overline{1,t}$
$\Rightarrow \exists B:b=B^n$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 06-09-2015 - 04:58