Chủ đề này có 2 trả lời

[dinhnguyenhoangkim]

Cho các số nguyên dương $b, n$. GIả sử với mỗi $k>1$ luôn tồn tại số nguyên $a_k$ sao cho $b-(a_k)^n$ chia hết cho $k$.

Chứng minh rằng $b$ là lũy thừa $n$ của một số nguyên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 06-09-2015 - 04:25
$\LaTeX$

[nhungvienkimcuong]

Cho các số nguyên dương $b, n$. GIả sử với mỗi $k>1$ luôn tồn tại số nguyên $a_k$ sao cho $b-(a_k)^n$ chia hết cho $k$.

Chứng minh rằng $b$ là lũy thừa $n$ của một số nguyên.

giả sử $b=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha _t}$

chọn $\forall i=\overline{1,t}:k=p_i^{\alpha_ i+1}\Rightarrow \exists a_j:\left\{\begin{matrix} b\equiv a_j^n\equiv 0(mod\ p_i^{\alpha _i})\\b\equiv a_j^n\not\equiv 0(mod\ p_i^{\alpha _i+1}) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow v_p(b)=v_p(a_j^n)\Rightarrow \alpha _i=nv_p(a_j)\Rightarrow n \mid \alpha _i,\forall i=\overline{1,t}$

$\Rightarrow \exists B:b=B^n$

bài này shortlist năm nào đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 06-09-2015 - 04:58

[Belphegor Varia]

Cho các số nguyên dương $b, n$. GIả sử với mỗi $k>1$ luôn tồn tại số nguyên $a_k$ sao cho $b-(a_k)^n$ chia hết cho $k$.

Chứng minh rằng $b$ là lũy thừa $n$ của một số nguyên.

 

$\bullet  \texttt{Solution }$

 

Giả sử $b=p_1^{q_1}.p_2^{q_2}...p_m^{q_m}(p_i$ nguyên tố $q_i\in \mathbb{N},i=1,...m)$

Theo giả thiết tồn tại $a_{b^2}^n$ thỏa mãn : $b^2|b-a_{b^2}^n\Rightarrow p_i^{q_i}||a_{b^2}^n \forall i$

Vì $p_i^{q_i}$ nguyên tố nên : $n|q_i$ $\Rightarrow Q.E.D$       $\square$