Chủ đề này có 1 trả lời

[duongduong352481980]

Tìm hàm f:$\mathbb{R}^{+}$$\rightarrow$$\mathbb{R}^{+}$

        f(x+f(y))=f(x+y)+f(y) $\forall$ x,y>0.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongduong352481980: 05-09-2015 - 22:33

[duythanbg]

Bài này chỉ cần thêm biến thôi.

 

Thêm biến z > 0 : 

$f(x+f(y+f(z)))=f(x+y+f(z))+f(y+f(z))\Leftrightarrow f(x+f(y+f(z)))=f(x+y+z)+2f(z)+f(y+z)$

Mặt khác : $f(x+f(y+f(z)))=f(x+f(y+z)+f(z))=f(x+f(z)+y+z)+f(y+z)=f(x+y+2z)+f(z)+f(y+z)$

 

Do đó ta có : $f(x+y+2z)=f(z)+f(x+y+z)$ Từ đây hiển nhiên suy ra rằng f cộng tính trên $\mathbb{R}^{+}$

 

Do đó phương trình hàm ban đầu có dạng là : $f(x)+f(f(y))=f(x)+2f(y)\Leftrightarrow f(f(y))=2f(y)$   (*)

 

Do f cộng tính trên $\mathbb{R}^{+}$ nên $f(x)=ax(a>0)$ . 

Thử vào (*) ta thấy $a=2$

 

Thử lại ta được $f(x)=2x$ thỏa mãn đề bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duythanbg: 06-09-2015 - 14:33