Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangmanhquan]

Cho ba số thực phân biệt a,b,c.

Tìm GTNN của biểu thức:

$A=\sum a^2. \sum \frac{1}{(a-b)^2}$

[phamngochung9a]

Cho ba số thực phân biệt a,b,c.

Tìm GTNN của biểu thức:

$A=\sum a^2. \sum \frac{1}{(a-b)^2}$

Giả sử $a\geq b\geq c$ thì $0\leq a-c\leq a;0\leq b-c\leq b$

$A\geq \left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( \frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}} \right )=\frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}+2+\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}=1+\frac{2ab}{(a-b)^{2}}+\left ( \frac{(a-b)^{2}}{ab}+2 \right )^{2}$

Đặt $\frac{ab}{(a-b)^{2}}=t$ cần tìm min của $f(t)=1+2t+\left ( \frac{1}{t}+2 \right )^{2}$

Đến đây khảo sát hàm số là ra

[Nguyenhuyen_AG]

Cho ba số thực phân biệt a,b,c.

Tìm GTNN của biểu thức:

$A=\sum a^2. \sum \frac{1}{(a-b)^2}$

 

Giả sử $a > b > c,$ ta có

\[a^2+b^2+c^2 \geqslant a^2 + c^2 \geqslant \frac{1}{2}(a-c)^2,\]

và

\[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2} \geqslant \frac{2}{(a-b)(b-c)} \geqslant \frac{8}{(a-c)^2}.\]

Do đó $A \geqslant \frac{9}{2}.$ Đẳng thức xảy ra khi $b = 0, \, a = -c.$