Bài toán 1. Cho hai đường thẳng ∆, ∆’. Các đường thẳng a, b, c đôi một song song và theo thứ tự cắt ∆ tại A, B, C. Các đường thẳng a’, b’, c’ đôi một song song và theo thứ tự cắt ∆’ tại A’, B’, C’. a, b, c theo thứ tự cắt a’, b’, c’ tại X, Y, Z. CMR nếu $\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C'}}$ thì X, Y, Z thẳng hàng.
Bài toán 2. Cho tứ giác ABCD. O là giao điểm của AC và BD. M là điểm bất kì. Các điểm N, P theo thứ tự thuộc AC, BD sao cho MN//BC, MP//AD Chứng minh rằng trực tâm của các tam giác OAD, OBC, ONP thẳng hàng khi và chỉ khi M thuộc AB.
Bài toán 3. Cho tam giác ABC và đường thẳng ∆. X, Y, Z theo thứ tự là hình chiếu của A, B, C trên ∆. Các đường thẳng ∆A, ∆B, ∆C theo thứ tự qua X, Y, Z và vuông góc với BC, CA, AB. Chứng minh rằng ∆A, ∆B, ∆C đồng quy.
Bài toán 4. Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp (I) theo thứ tự tiếp xúc với BC, CA, AB tại D, E, F. M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AI. IE, IF theo thứ tự cắt DF, DE tại P, Q. Chứng minh rằng MN vuông góc với PQ
Bài toán 5. Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I) và $\widehat{BAD}=90^{\circ}$. BI, DI
theo thứ tự cắt AD, AB tại M, N. Chứng minh rằng AC vuông góc với MN.
Bài toán 6. Cho tam giác ABC, trung tuyến AD. Đường thẳng ∆ vuông góc với AD. Điểm M chạy trên ∆. E, F theo thứ tự là trung điểm của MB, MC. Các điểm P, Q theo thứ tự thuộc AB, AC sao cho EP, FQ cùng vuông góc với ∆. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua M vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định.
Bài toán 7. Cho tam giác ABC. O, I theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp. Ia, Ib, Ic theo thứ tự là tâm các đường tròn bàng tiếp đối diện với các đỉnh A, B, C. ∆ là đường thẳng bất kì. Chứng minh rằng
$d_{O}(I, \Delta )+d_{O}(I_{a}, \Delta)+d_{O}(I_{b}, \Delta)+d_{O}(I_{c},\Delta)=4d(O, \Delta)$
Chú ý.$d_{O}(M, \Delta)=\left\{\begin{matrix} d(M, \Delta)(1) & \\ -d(M, \Delta)(2)& \end{matrix}\right.$
(1) nếu M,O/ $\Delta$
(2) nếu M/O/ $\Delta$
