Chủ đề này có 1 trả lời

[minhhien2001]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. TÌM Max A=$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 10-09-2015 - 18:45
Tiêu đề

[hoctrocuaHolmes]

cho x,y,z>0 thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. TÌM Max A=$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$

Áp dụng AM-GM và giả thiết $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$,ta có 

$4=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\Leftrightarrow x+y+z\geq \frac{9}{4}\Rightarrow x+x+y+z\geq \frac{9}{4}+x\Rightarrow \sum \frac{1}{2x+y+z}\leq \sum \frac{1}{\frac{9}{4}+x}=\sum \frac{4}{4x+9}\leq \sum (\frac{1}{4x+3}+\frac{1}{6})=\frac{1}{2}+\sum \frac{1}{4x+3}\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{4}(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}+1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}(4.\frac{1}{4}+1)=1$

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z=\frac{3}{4}$