Chủ đề này có 3 trả lời

[Nguyen Minh Hai]

Tìm bộ ba số nguyên dương $(a,b,c)$ sao cho $a^b+1=(a+1)^c$

[duythanbg]

bài này có trong chuyên đề sử dụng LTE ở quyển Chuyên đề Số học - Mathscope .

Bạn chịu khó lên mạng tìm đi. 

[Zaraki]

Lời giải. Ta xét các trường hợp sau:

Nếu $b=1$ thì thì $(a,b,c)=(n,1,1)$ thoả mãn.

 

Nếu $b \ge 2$ thì:

 

Nếu tồn tại một ước nguyên tố $p$ lẻ của $a$, khi đó theo bổ đề LTE, ta suy ra $$v_p \left( (a+1)^c-1 \right)= v_p(a)+v_p(c )= v_p(a) \cdot b.$$

Do đó $v_p(c )=v_p(a) \cdot (b-1)$. Như vậy $c \ge p^{b-1}$ với $p \ge 3$. Ta suy ra $(a+1)^c-1 \ge (a+1)^{p^{b-1}}-1> a^{b}$, mâu thuẫn.

 

Vậy hoặc $a=1$ hoặc $a=2^k, \; k \ge 1$.

Nếu $a=1$ thì $1^b+1=2^c$ suy ra $c=1,b=n \in \mathbb{N}^*$.

Nếu $a=2^k$. Nếu $a=2$ thì $2^b+1=3^c$. Từ đây dễ dàng suy ra $(b,c)=(1,1),(3,2)$.

Nếu $a=2^k, k \ge 2$ thì $a+1>2$. Do đó theo định lý Zsigmondy ta suy ra tồn tại ước nguyên tố $p$ của $(a+1)^c-1$ sao cho $2 \nmid p$ với mọi $c \ne 2$. Do đó $c=2$. Khi đó $a^b+1=(a+1)^2$ hay $a^{b-1}=a+2$ hay $a (a^{b-2}-1)=2$, mâu thuẫn vì $a \ge 4$.

 

Như vậy $\boxed{(a,b,c)=(1,n,1),(2,1,1),(2,3,2)}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 18-09-2015 - 18:37

[Nguyen Minh Hai]

Lời giải. Ta xét các trường hợp sau:

Nếu tồn tại một ước nguyên tố $p$ lẻ của $a$, khi đó theo bổ đề LTE, ta suy ra $$v_p \left( (a+1)^c-1 \right)= v_p(a)+v_p(c )= v_p(a) \cdot b.$$

Do đó $v_p(c )=v_p(a) \cdot (b-1)$. Như vậy $c \ge p^{b-1}$ với $p \ge 3$. Ta suy ra $(a+1)^c-1 \ge (a+1)^{p^{b-1}}-1> a^{b}$, mâu thuẫn.

 

Vậy hoặc $a=1$ hoặc $a=2^k, \; k \ge 1$.

Nếu $a=1$ thì $1^b+1=2^c$ suy ra $c=1,b=n \in \mathbb{N}^*$.

Nếu $a=2^k$. Nếu $a=2$ thì $2^b+1=3^c$. Từ đây dễ dàng suy ra $(b,c)=(1,1),(3,2)$.

Nếu $a=2^k, k \ge 2$ thì $a+1>2$. Do đó theo định lý Zsigmondy ta suy ra tồn tại ước nguyên tố $p$ của $(a+1)^c-1$ sao cho $2 \nmid p$ với mọi $c \ne 2$. Do đó $c=2$. Khi đó $a^b+1=(a+1)^2$ hay $a^{b-1}=a+2$ hay $a (a^{b-2}-1)=2$, mâu thuẫn vì $a \ge 4$.

 

Như vậy $\boxed{(a,b,c)=(1,n,1),(2,1,1),(2,3,2)}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Em nghỉ là trước khi xét trường hợp tồn tại ước nguyên tố $p$ lẻ của $a$ thì ta nên xét với $b=1$ trước.

Nếu xét với $b=1$ trước thì ta có bộ nghiệm $(a,b,c)=(n,1,1)$ nữa ạ.