Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng $\frac{7-6a}{2+a^2}+\frac{7-6b}{2+b^2}+\frac{7-6c}{2+c^2} \geq 1.$
$\frac{7-6a}{2+a^2}+\frac{7-6b}{2+b^2}+\frac{7-6c}{2+c^2} \geq 1.$
#1
Đã gửi 11-09-2015 - 08:49
#2
Đã gửi 11-09-2015 - 10:36
Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng $\frac{7-6a}{2+a^2}+\frac{7-6b}{2+b^2}+\frac{7-6c}{2+c^2} \geq 1.$
Spoiler
Mình nghĩ bạn không nên đăng lại các bài đã có
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VOHUNGTUAN: 11-09-2015 - 10:43
TOÁN HỌC LÀ LINH HỒN CỦA CUỘC SỐNG
VIỆC HỌC TOÁN SONG SONG VỚI CUỘC ĐỜI
!
#3
Đã gửi 11-09-2015 - 21:59
Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng $\frac{7-6a}{2+a^2}+\frac{7-6b}{2+b^2}+\frac{7-6c}{2+c^2} \geq 1.$
Spoiler
Đặt $a=\frac{1}{x},\,b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z},$ thì bất đẳng thức trên trở thành
\[\frac{7x^2-6x}{2x^2+1}+\frac{7y^2-6y}{2y^2+1}+\frac{7z^2-6z}{2z^2+1} \geqslant 1.\]
Chú ý rằng \[\frac{7x^2-6x}{2x^2+1} + 1 = \frac{(3x-1)^2}{2x^2+1},\] nên ta chỉ cần chứng minh \[\frac{(3x-1)^2}{2x^2+1}+\frac{(3y-1)^2}{2y^2+1}+\frac{(3z-1)^2}{2z^2+1} \geqslant 4.\] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có \[\sum \frac{(3x-1)^2}{2x^2+1} \geqslant \frac{(3x-1+3y-1+3z-1)^2}{2x^2+1+2y^2+1+2z^2+1} = \frac{9(a+b+c-1)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+3}.\] Như vậy ta chỉ cần chỉ ra \[9(a+b+c-1)^2 \geqslant 4[2(a^2+b^2+c^2)+3].\]
Bất đẳng thức cuối cùng có thể chứng minh bằng dồn biến.
- Zaraki và hoctrocuaHolmes thích
Ho Chi Minh City University Of Transport
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh