Chủ đề này có 1 trả lời

[nhivanle]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3 

Chứng minh: 

$\frac{2x^{2}+y^{2}+z^{2}}{4-yz} + \frac{2y^{2}+x^{2}+z^{2}}{4-xz} + \frac{2z^{2}+x^{2}+y^{2}}{4-xy }\geq 4xyz$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 12-09-2015 - 15:50

[Dinh Xuan Hung]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3 

Chứng minh: 

$\frac{2x^{2}+y^{2}+z^{2}}{4-yz} + \frac{2y^{2}+x^{2}+z^{2}}{4-xz} + \frac{2z^{2}+x^{2}+y^{2}}{4-xy }\geq 4xyz$

AM-GM: $2x^2+y^2+z^2=x^2+x^2+y^2+z^2\geq 4x\sqrt{yz}$

$\Rightarrow \frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}\geq \frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}$

CMTT:$\frac{2y^2+x^2+z^2}{4-xz}\geq \frac{4y\sqrt{xz}}{4-xz};\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\geq \frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}$

Khi đó ta cần CM:$\sum \frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}\geq 4xyz\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{yz}(4-yz)}\geq 1$

$\left ( \sqrt{xy};\sqrt{yz};\sqrt{xz} \right )\rightarrow (a;b;c)$

$x+y+z\geq \sum \sqrt{xz}\Leftrightarrow 3\geq \sqrt{xy}\Leftrightarrow 3\geq a+b+c$

Khi đó ta cần CM:$\sum \frac{1}{a(4-a^2)}\geq 1$

Ta có:$\frac{1}{a(4-a^2)}\geq -\frac{1}{9}a+\frac{4}{9}$

(Cái này xét hiệu là ra luôn)

CMTT rồi công cả ba vế lại ta có ĐPCM