Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi HSGS TST ngày 1 vòng 1.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1 minhduc3001

minhduc3001

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-09-2015 - 17:58

         ĐỀ THI HSGS TST NGÀY 1 VÒNG 1

Thời gian: 210 phút.

 

 

 

Câu I: Giải HPT: $(x^{2}+y^{2})(x+y-3)=4y-6x$ ; 

                           $(x^{2}+y^{2})(x-y-5)=-4x-6y$ .

 

Câu II: Cho dãy $(a_{n}) : a_{0}=2; a_{1}=4; a_{2}=11$ và công thức:  

 

$a_{n}= (n+6)a_{n-1} -3(2n+1)a_{n-2} + 9(n-2)a_{n-3} (n\geq 3)$

 

            CMR: Trong dãy trên tồn tại vô hạn các số $a_{n}$ sao cho $a_{n}-1$ chia hết cho $2^{2015}$.

 

Câu III: Cho tam giác $ABC$ không cân, nhọn nội tiếp $(O)$ cố định. $B,C$ cố định và $A$ di chuyển trên $(O)$. $I$ là tâm nội tiếp. $AI$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $M$. $F$ là hình chiếu của $I$ lên $AB$. $IF$ cắt $BC$ tại $S$. $SM$ cắt $(O)$ tại $T$.

            (a) CMR: $TI$ luôn đi qua một điểm cố định $G$ khi $A$ di chuyển.

            (b) Gọi $H$ là trực tâm $ABC$. $Q$ đối xứng với $H$ qua $F$. $L$ là hình chiếu của $F$ lên $IC$. $R$ đối xứng với $I$ qua $L$. CMR: $FL,QR,GI$ đồng quy.

 

Câu IV: Cho $x,y,z$ là các số thực dương. CMR:

$\sum \frac{xy^{3}z^{3}}{(x^{2}+yz)^{2}(y^{3}+z^{3})} \leq \frac{3}{8}$.

 

 

HẾT


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhduc3001: 13-09-2015 - 00:32


#2 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 12-09-2015 - 18:35

Câu I: Giải HPT: $(x^{2}+y^{2})(x+y-3)=4y-6x$ ; 

                           $(x^{2}+y^{2})(x-y-5)=-4x-6y$ .

ta có hệ $\left\{\begin{matrix} x+y-3=\frac{4y-6x}{x^2+y^2}\\x-y-5=\frac{-4x-6y}{x^2+y^2} \end{matrix}\right.$

cộng,trừ hai hệ trên ta có $\left\{\begin{matrix} x+y-3+\frac{6x-4y}{x^2+y^2}=0\\x-y-5+\frac{4x+6y}{x^2+y^2}=0 \end{matrix}\right.$

lấy $PT(1)+iPT(2)\Rightarrow x-iy+ix+y-3-5i+6\frac{x+iy}{x^2+y^2}+4\frac{ix-y}{x^2+y^2}=0$

đặt $z=x-iy\Rightarrow z+iz-3-5i+\frac{6}{z}+\frac{4i}{z}=0$

tới đây chắc được rồi

 

Câu II: Cho dãy $(a_{n}) : a_{0}=2; a_{1}=4; a_{2}=11$ và công thức:  

 

$a_{n}= (n+3)a_{n-1} -$ $3(2n-1)a_{n-2}$ $ + 9(n-2)a_{n-3} (n\geq 3)$

 

            CMR: Trong dãy trên tồn tại vô hạn các số $a_{n}$ sao cho $a_{n}-1$ chia hết cho $2^{2015}$.

chỗ này đề đúng không nhỉ?


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#3 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4266 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 12-09-2015 - 18:44

Cấu 4 là một mô phỏng của Bài 6 VMO 2014. Ý tưởng giải cũng giống với bài 6 VMO.

 

Ta có $2(y^3+z^3) \ge (y+z)(y^2+z^2) \ge 2 \sqrt{yz} (y^2+z^2)$ và $x^2+yz \ge 2x \sqrt{yz}$. Do đó $$(y^3+z^3)(x^2+yz)^2 \ge 2xyz(y^2+z^2)(x^2+yz) \ge 2xyz(x^2y^2+x^2z^2+2y^2z^2).$$

Ta suy ra $$\sum \frac{xy^3z^3}{(x^2+yz)^2(y^3+z^3)} \le \frac 12 \sum \frac{y^2z^2}{x^2y^2+x^2z^2+2y^2z^2}.$$

Ta đưa bài toán về việc chứng minh

\begin{equation} \label{pt1} \sum \frac{a}{b+c+2a} \le \frac 34. \end{equation}

Ta thấy \eqref{pt1} tương đương với chứng minh $\sum \frac{b+c}{b+c+2a} \ge \frac 32$.

Đến đây thì áp dụng CS ta có $$\sum \frac{b+c}{b+c+2a}= \sum \frac{(b+c)^2}{(b+c)(b+c+2a)} \ge \frac{4(a+b+c)^2}{2\sum b^2+6 \sum ab} \ge \frac 32.$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$.

 

Ps: Ôi, cũng lâu lắm rồi mới giải một bài BĐT.  :P


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 12-09-2015 - 18:52

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#4 minhduc3001

minhduc3001

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-09-2015 - 19:09

ta có hệ $\left\{\begin{matrix} x+y-3=\frac{4y-6x}{x^2+y^2}\\x-y-5=\frac{-4x-6y}{x^2+y^2} \end{matrix}\right.$

cộng,trừ hai hệ trên ta có $\left\{\begin{matrix} x+y-3+\frac{6x-4y}{x^2+y^2}=0\\x-y-5+\frac{4x+6y}{x^2+y^2}=0 \end{matrix}\right.$

lấy $PT(1)+iPT(2)\Rightarrow x-iy+ix+y-3-5i+6\frac{x+iy}{x^2+y^2}+4\frac{ix-y}{x^2+y^2}=0$

đặt $z=x-iy\Rightarrow z+iz-3-5i+\frac{6}{z}+\frac{4i}{z}=0$

tới đây chắc được rồi

 
 

chỗ này đề đúng không nhỉ?

Mình sửa lại rồi nhé. Bạn thông cảm, các thầy cô ko cho cầm đề về. Mình xin chụp ảnh nhưng cũng ko cho. Mình gõ theo trí nhớ với xem lại nháp thôi.



#5 Pham Quoc Thang

Pham Quoc Thang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Long An
  • Sở thích:Bất đẳng thức,Kiếm Hiệp

Đã gửi 12-09-2015 - 20:18

Đây là lời giải của mình. Làm biếng gõ latex quá :D

Hình gửi kèm

  • Capture190.PNG


#6 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4266 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 12-09-2015 - 20:55

Câu II: Cho dãy $(a_{n}) : a_{0}=2; a_{1}=4; a_{2}=11$ và công thức:  

 

$a_{n}= (n+3)a_{n-1} -3(2n+1)a_{n-2} + 9(n-2)a_{n-3} (n\geq 3)$

 

            CMR: Trong dãy trên tồn tại vô hạn các số $a_{n}$ sao cho $a_{n}-1$ chia hết cho $2^{2015}$.

Mình có tính toán một số $a_i$ đây:
 

$a_3=6 \times 11 -3 \times 7 \times 4+9 \times 1 \times 2=0$.

$a_4=7 \times 0-3 \times 9 \times 11+9 \times 2 \times 4=-225$.

$a_5=8 \times (-225)-3 \times 11 \times 0+9 \times 3 \times 11=-1503$.

$a_6=9 \times (-1503)-3 \times 13 \times (-225)+9 \times 4 \times 0=-4752$.

$a_7=10 \times (-4752)-3 \times 15 \times (-1503)+9 \times 5 \times (-225)=9990$.

$a_8$. Vì $a_6,a_7$ chẵn nên $a_8$ chẵn. Từ đây dẫn đến $a_i$ chẵn với mọi $i \ge 6$.

 

Bạn thử kiểm tra xem trên mình tính toán có đúng không. Nếu tính toán trên đúng thì mình nghĩ là chắc bạn viết sai chỗ nào trong đề bài. Làm phiền bạn kiểm lại đề bài 2 vậy.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#7 minhduc3001

minhduc3001

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-09-2015 - 21:55

Đây là lời giải của mình. Làm biếng gõ latex quá :D

Hic. Mình cũng dùng p,q,r nhưng vì ghi nhầm cái mẫu thế là loay hoay mãi đoạn cuối. Lúc ra khỏi phòng thi mới xem lại thì hối hận.



#8 minhduc3001

minhduc3001

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-09-2015 - 21:57

Mình có tính toán một số $a_i$ đây:
 

$a_3=6 \times 11 -3 \times 7 \times 4+9 \times 1 \times 2=0$.

$a_4=7 \times 0-3 \times 9 \times 11+9 \times 2 \times 4=-225$.

$a_5=8 \times (-225)-3 \times 11 \times 0+9 \times 3 \times 11=-1503$.

$a_6=9 \times (-1503)-3 \times 13 \times (-225)+9 \times 4 \times 0=-4752$.

$a_7=10 \times (-4752)-3 \times 15 \times (-1503)+9 \times 5 \times (-225)=9990$.

$a_8$. Vì $a_6,a_7$ chẵn nên $a_8$ chẵn. Từ đây dẫn đến $a_i$ chẵn với mọi $i \ge 6$.

 

Bạn thử kiểm tra xem trên mình tính toán có đúng không. Nếu tính toán trên đúng thì mình nghĩ là chắc bạn viết sai chỗ nào trong đề bài. Làm phiền bạn kiểm lại đề bài 2 vậy.

Hic. Mình nhầm. Đây là sau khi mình chuyển sang. Mình sửa lại rồi đó.



#9 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 12-09-2015 - 22:08

Câu II: Cho dãy $(a_{n}) : a_{0}=2; a_{1}=4; a_{2}=11$ và công thức:  

 

$a_{n}= (n+6)a_{n-1} -3(2n+1)a_{n-2} + 9(n-2)a_{n-3} (n\geq 3)$

 

            CMR: Trong dãy trên tồn tại vô hạn các số $a_{n}$ sao cho $a_{n}-1$ chia hết cho $2^{2015}$.

đặt $u_n=a_n-na_{n-1}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} u_1=2,u_2=3\\u_n=6u_{n-1}-9u_{n-2} \end{matrix}\right.\Rightarrow a_n-na_{n-1}=3^n-n.3^{n-1}$

$\Rightarrow a_n-3^n=n(a_{n-1}-3^{n-1})=...=n!\Rightarrow a_n-1=3^n+n!-1$

dễ thấy với $n=2^k,k\ge 2015$ thì $2^{2015}\mid a_n-1$ mà có vô số số $n$ như trên nên ta có $Q.E.D$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 12-09-2015 - 22:12

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#10 minhduc3001

minhduc3001

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-09-2015 - 00:32

đặt $u_n=a_n-na_{n-1}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} u_1=2,u_2=3\\u_n=6u_{n-1}-9u_{n-2} \end{matrix}\right.\Rightarrow a_n-na_{n-1}=3^n-n.3^{n-1}$

$\Rightarrow a_n-3^n=n(a_{n-1}-3^{n-1})=...=n!\Rightarrow a_n-1=3^n+n!-1$

dễ thấy với $n=2^k,k\ge 2015$ thì $2^{2015}\mid a_n-1$ mà có vô số số $n$ như trên nên ta có $Q.E.D$

Ờ nhỉ. Sao mình lại không nghĩ ra chuyển cái hệ số n đấy sang mà mình lại chuyển 3 cơ chứ. Thanks bạn vì lời giải. Mình thật sự rất ấn tượng.



#11 an1712

an1712

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Đông Triều Quảng Ninh
  • Sở thích:one piece, bảy viên ngọc rồng

Đã gửi 13-09-2015 - 16:02

đặt $u_n=a_n-na_{n-1}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} u_1=2,u_2=3\\u_n=6u_{n-1}-9u_{n-2} \end{matrix}\right.\Rightarrow a_n-na_{n-1}=3^n-n.3^{n-1}$

$\Rightarrow a_n-3^n=n(a_{n-1}-3^{n-1})=...=n!\Rightarrow a_n-1=3^n+n!-1$

dễ thấy với $n=2^k,k\ge 2015$ thì $2^{2015}\mid a_n-1$ mà có vô số số $n$ như trên nên ta có $Q.E.D$

mình thấy cách đặt sao ấy, bạn xem lại đc ko, phương trình đặc trưng ko cho nghiệm n


tiến tới thành công  :D


#12 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 19-09-2015 - 09:21

Một số gợi ý cho câu b) bài hình

 

- Tích của hai phép đối xứng trục mà hai trục vuông góc là đối xứng tâm

 

- Có một bài toán quan trọng sau được dùng làm bổ đề

 

Cho tam giác $ABC$, trực tâm $H$, đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $K$ là hình chiếu của $D$ lên $EF$. Chứng minh rằng $KD$ là phân giác $\angle IKH$.



#13 SonKHTN1619

SonKHTN1619

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Geometry, Combinatorics, Functional Equation, Anime

Đã gửi 06-08-2017 - 21:45

Hướng giải của em cho bài 3b:

- Theo gợi ý 1 của thầy Hùng, ta sẽ chứng minh đối xứng của điểm $H$ qua đường thẳng qua $F$ vuông góc $DE$ nằm trên $TI$ (1)

- Chứng minh $\angle CTI = 90^{\circ}$

- Gọi $K$ là hình chiếu của $F$ lên $DE$. Ta sẽ chứng minh $T,I,K$ thẳng hàng từ đó theo gợi ý 2, ta suy ra (1).

Gợi ý 2 có thể chứng minh bằng cách dùng bổ đề sau:

"Cho $\Delta ABC$ có trực tâm $H. E, F$ là 2 điểm bất kỳ trên $CA,AB$. Khi đó $H$ nằm trên trục đẳng phương của $(BE), (CF)$

Hình gửi kèm

  • Screenshot from 2017-08-06 21:44:57.png

HSGS in my heart  :icon12:


#14 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1021 Bài viết

Đã gửi 17-02-2020 - 12:45

KHÓ






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh