Chủ đề này có 3 trả lời

[an1907]

Giả sử các số thực $a , b , c , x , y , z , t$ thoả mãn hệ : $a + b + c + d  = 2 , ax + by + cz + dt = 6$ . Tìm GTNN của biểu thức :

$T = \sqrt{16a^{2} + a^{2}x^{2}} + \sqrt{16b^{2} + b^{2}y^{2}} + \sqrt{16c^{2} + c^{2}z^{2}} + \sqrt{16d^{2} + d^{2}t^{2}}$ 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi an1907: 15-09-2015 - 13:17

[JayVuTF]

Giả sử các số thực $a , b , c , x , y , z , t$ thoả mãn hệ : $a + b + c + d  = 2 , ax + by + cz + dt = 6$ . Tìm GTNN của biểu thức :

$T = \sqrt{16a^{2} + a^{2}x^{2}} + \sqrt{16b^{2} + b^{2}y^{2}} + \sqrt{16c^{2} + c^{2}z^{2}} + \sqrt{16d^{2} + d^{2}t^{2}}$ 

 

$$T = \sqrt{16a^{2} + a^{2}x^{2}} + \sqrt{16b^{2} + b^{2}y^{2}} + \sqrt{16c^{2} + c^{2}z^{2}} + \sqrt{16d^{2} + d^{2}t^{2}}\geq \sqrt{(4a+4b+4c+4d)^2+(ax+by+cz+dt)^2}=\sqrt{(4.2)^2+6^2}=10$$

[locnguyen2207]

Giả sử các số thực $a , b , c , x , y , z , t$ thoả mãn hệ : $a + b + c + d  = 2 , ax + by + cz + dt = 6$ . Tìm GTNN của biểu thức :

$T = \sqrt{16a^{2} + a^{2}x^{2}} + \sqrt{16b^{2} + b^{2}y^{2}} + \sqrt{16c^{2} + c^{2}z^{2}} + \sqrt{16d^{2} + d^{2}t^{2}}$ 

Áp dụng bất thức Min-cop-ki ta có: $T = \sqrt{16a^{2} + a^{2}x^{2}} + \sqrt{16b^{2} + b^{2}y^{2}} + \sqrt{16c^{2} + c^{2}z^{2}} + \sqrt{16d^{2} + d^{2}t^{2}}\geq \sqrt{(4a+4b+4c+4d)^2+(ax+by+cz+dt)^2}=\sqrt{(4.2)^2+6^2}=10$

[anhxtanh1879]

Mình có cách 1 cách khác

Xét $\vec{u} = (4a;ax), \vec{v} = (4b;by), \vec{w} = (4c;cz), \vec{\delta } = (4d;dt)$.

Khi đó: $T = \left | \vec{u} \right | + \left | \vec{v} \right | + \left | \vec{w} \right | + \left | \vec{\delta } \right | \geq \sqrt{16(a + b + c + d)^{2} + (ax + by + cz + dt)^{2}} = 10$.

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = d = \frac{1}{2}, x = y = z = t = 3$