Chủ đề này có 1 trả lời

[duythanbg]

Cho n là một số tự nhiên lẻ. Chứng minh : 

$7^{2n}+5.7^n+1$ chỉ có ước nguyên tố dạng $4k+1$

[Ego]

Không ai giải hết   
Lời giải của mình. Gọi $p$ là một ước nguyên tố của $7^{4k + 2} + 5.7^{2k + 1} + 1$. Nhận xét $p\neq 7$ và $p\neq 3$ và $p$ lẻ:
i) Ta có $p\mid (7^{2k + 1} + 1)^{2} + 21.7^{2k} \implies p\mid [7^{-k}(7^{2k + 1} + 1)]^{2} + 21 \implies \left(\frac{-21}{p}\right) = 1$
ii) Lại có $p\mid 4(7^{2n} + 5.7^{n} + 1) = (2.7^{n} + 5)^{2} - 21 \implies \left(\frac{21}{p}\right) = 1$
Kết hợp lại, ta có $1 = \left(\frac{-21}{p}\right) = \left(\frac{21}{p}\right).\left(\frac{-1}{p}\right) = \left(\frac{-1}{p}\right)$.
Từ đó ta suy ra $p \equiv 1\pmod{4}$
Chứng minh hoàn tất. $\bigstar$