Chủ đề này có 1 trả lời

[Watson1504]

Chứng minh $P(x)P(2x^2 -1)=P(2x-1)P(x^2)$
Nhờ các cao thủ

[Ego]

Mình vừa chế và đem lên blog của mình nhằm đợi chúc AoPS năm mới thì lại thấy bài viết ở đây :-D Khó tìm được bài nào của mình mà chưa xuất hiện thật.
Đây là lời giải của mình (bài này thiên hướng giải tích, mình nghĩ vậy).
Bổ đề 1: Mọi đa thức đều liên tục trên $\mathbb{R}$.
Bổ đề 2: Cho dãy $(a_{n})$ hội tụ tại $L$ và hàm $f$ liên tục. Khi đó

$$\lim_{n\to \infty}{f(a_{n})} = f(L)$$

Bổ đề 3: $\lim{\sqrt[n]{a}} = 1 \; \forall a > 0$
Các bổ đề trên là hiển nhiên nên mình sẽ bỏ qua chứng minh.
TH1. $P(1) \neq 0$. 
$$\frac{P(x)}{P(2x - 1)} = \frac{P(|x|)}{P(2|x| - 1)} = \frac{P(x^{2})}{P(2x^{2} - 1)}$$
$$\implies \frac{P(x)}{P(2x - 1)} = \lim_{n\to +\infty}{\frac{P(\sqrt[2^{n}]{|x|})}{P(2\sqrt[2^{n}]{|x|} - 1)}} = \frac{\lim_{n \to +\infty}{P(\sqrt[2^{n}]{|x|})}}{\lim_{n \to +\infty}{P(2\sqrt[2^{n}]{|x|} - 1)}} = \frac{P(1)}{P(1)} = 1$$
Từ đó ta có $P(x) = P(2x - 1)$. Đặt $t = P(0)$, khi đó pt $P(x) - t = 0$ có vô số nghiệm thực, nói cách khác đây là hàm hằng. (thực ra đây là hàm tuần hoàn cộng tính nên nó là hàm hằng, mình chỉ muốn lí luận cho rõ ra)
TH2. $P(1) = 0$. Đặt $P(x) = (x - 1)^{K}.Q(x)$ với $Q(1) \neq 0$. Thế vào pt ban đầu, nhận được $(x - 1)^{K}.Q(x).(2x^{2} - 2)^{K}.Q(2x^{2} - 1) = (2x - 2)^{K}.Q(2x - 1).(x^{2} - 1)^{K}.Q(x^{2}) \implies Q(x).Q(2x^{2} - 1) = Q(2x - 1).Q(x^{2})$
Làm tương tự trường hợp 1, ta nhận được $Q(x) = L$ là hằng số. Nói cách khác, $P(x) = L(x - 1)^{K}$
Vậy các hàm thỏa mãn là $P(x) = L$ hoặc $P(x) = L(x - 1)^{K}$.
:-) Mình thích bài này thật.