Chủ đề này có 2 trả lời

[Love Dan]

Cho P nguyên tố lẻ.CMR: tồn tại căn nguyên thủy mod $P^{2}$

[Dung Du Duong]

Cho P nguyên tố lẻ.CMR: tồn tại căn nguyên thủy mod $P^{2}$

Bài này là 1 ĐL căn bản, các sách về Số học đều có bài này  

Hoặc theo cách này (mình cx chưa xem sách họ CM thế nào nx  ):

Gọi a là CNT mod p 

Giả sử ko tồn tại CNT mod $p^{2}$ (phản chứng)

Đặt $ord_{p^{2}}^{a}=h ==> a^{h} \equiv 1 (mod p^{2}) ==> a^{h} \equiv 1 (mod p) ==> p-1=ord_{p}^{a}|h$

Mà h| $\varphi(p^{2}) = p(p-1) ==> h\in{p-1;p(p-1)}$

mà a ko là CNT (mod $p^{2}$) ==> h=p-1           (1)

Gọi b sao cho $b\equiv a(mod p)$ mà b $\not\equiv a(mod $p^{2})$

Vì $a\equiv b(mod p) nên $ord_{p}^{a}=ord_{p}^{b}=p-1$ ==> b là CNT mod p

Tương tự ta có: $ord_{p^{2}}^{b}=p-1$                (2)

Từ (1) và (2) suy ra $a^{p-1} \equiv  b^{p-1} (mod p^{2})$ ==> $a^{p-1} - b^{p-1} \vdots  p^{2}$ ==> $\nu_({p})^({a^{p-1}-b^{p-1}) \geqslant 2$  ==> $\nu_({p})^({a-b}) \geqslant 2$ ==> $(a-b)  \vdots  p^{2}$ ==> $a  \equiv  b(mod p^{2})$ ==> mâu thuẫn

==> tồn tại CNT mod $p^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 18-09-2015 - 21:08

[Love Dan]

Bài này là 1 ĐL căn bản, các sách về Số học đều có bài này  

Hoặc theo cách này (mình cx chưa xem sách họ CM thế nào nx  ):

Gọi a là CNT mod p 

Giả sử ko tồn tại CNT mod $p^{2}$ (phản chứng)

Đặt $ord_{p^{2}}^{a}=h ==> a^{h} \equiv 1 (mod p^{2}) ==> a^{h} \equiv 1 (mod p) ==> p-1=ord_{p}^{a}|h$

Mà h| $\varphi(p^{2}) = p(p-1) ==> h\in{p-1;p(p-1)}$

mà a ko là CNT (mod $p^{2}$) ==> h=p-1           (1)

Gọi b sao cho $b\equiv a(mod p)$ mà b $\not\equiv a(mod $p^{2})$

Vì $a\equiv b(mod p) nên $ord_{p}^{a}=ord_{p}^{b}=p-1$ ==> b là CNT mod p

Tương tự ta có: $ord_{p^{2}}^{b}=p-1$                (2)

Từ (1) và (2) suy ra $a^{p-1} \equiv  b^{p-1} (mod p^{2})$ ==> $a^{p-1} - b^{p-1} \vdots  p^{2}$ ==> $\nu_({p})^({a^{p-1}-b^{p-1}) \geqslant 2$  ==> $\nu_({p})^({a-b}) \geqslant 2$ ==> $(a-b)  \vdots  p^{2}$ ==> $a  \equiv  b(mod p^{2})$ ==> mâu thuẫn

==> tồn tại CNT mod $p^{2}$

Chỗ này bn bị lỗi này,

Nhưng mà ko sao, thanks!