Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$3\leq 2^{\left | \sin x \right |}+2^{\left | \cos x \right |}\leq 2^{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 dangthanhbn

dangthanhbn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-09-2015 - 18:09

CMR với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta luôn có:$3\leq 2^{\left | \sin x \right |}+2^{\left | \cos x \right |}\leq 2^{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}$



#2 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1811 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 21-06-2017 - 21:37

CMR với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta luôn có:$3\leq 2^{\left | \sin x \right |}+2^{\left | \cos x \right |}\leq 2^{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}$

 

Đặt $t=|\sin x|\, (t\in [0,1])$ $P=2^{\left | \sin x \right |}+2^{\left | \cos x \right |}=2^t+2^{\sqrt{1-t^2}}.$

 

Ta có $f'(t)= \left(2^t-\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}2^{\sqrt{1-t^2}} \right) \ln 2.$

Và \[f'(t)=0 \iff \frac{2^{\sqrt{1-t^2}}}{\sqrt{1-t^2}} =\frac{2^t}{t}.\] 

Hơn nữa, $g(t)= \frac{2^t}{t}$ là hàm nghịch biến trên $(0,1).$

Do đó $f'(t)=0\iff t=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

So sánh $f(0), f(1)$,  và $f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, suy ra điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 21-06-2017 - 21:37

Đời người là một hành trình...


#3 NeverDiex

NeverDiex

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết

Đã gửi 26-07-2019 - 10:04

Đặt t=|sinx|(t[0,1])t=|sin⁡x|(t∈[0,1]) P=2|sinx|+2|cosx|=2t+21t2.P=2|sin⁡x|+2|cos⁡x|=2t+21−t2.

 

Ta có f(t)=(2tt1t221t2)ln2.f′(t)=(2t−t1−t221−t2)ln⁡2.

f(t)=021t21t2=2tt.f′(t)=0⟺21−t21−t2=2tt.

Hơn nữa, g(t)=2ttg(t)=2tt là hàm nghịch biến trên (0,1).(0,1).

Do đó f(t)=0t=22.f′(t)=0⟺t=22.

So sánh f(0),f(1)f(0),f(1),  và f(22)f(22), suy ra điều phải chứng minh.


 

 




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh