Chủ đề này có 3 trả lời

[Math Master]

Cho $x^2 + y^2 = 4 (x;y > 0)$

Tìm Min $A = (x + \frac{1}{y})^2 + (y + \frac{1}{x})^2$

[uahnbu29main]

Ta có $x^{2}+y^{2}=4$

Mà $x^{2}+y^{2}\geqslant 2xy$

$\Rightarrow xy\leqslant 2$

$A=(xy+1)^{2}(\frac{1}{x^{2}} +\frac{1}{y^{2}})$

$ =(xy+1)^{2}\times \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}$

$ =\frac{4x^{2}y^{2}+8xy+4}{x^{2}y^{2}}$

$ =4+\frac{8}{xy} +\frac{4}{x^{2}y^{2}}$

$ \geqslant 4+4+1=9$

Dấu "=" xảy ra khi $xy=2$

$\Leftrightarrow x^{2}-2xy+y^{2}=0$

$\Leftrightarrow x=y=\sqrt{2} $

Vậy min $A=9$ khi $x=y=\sqrt{2} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi uahnbu29main: 19-09-2015 - 20:06

[phatthemkem]

Cho $x^2 + y^2 = 4 (x;y > 0)$

Tìm Min $A = (x + \frac{1}{y})^2 + (y + \frac{1}{x})^2$

 Ta có: $A=\left ( \frac{x^2}{4}+\frac{1}{x^2} \right )+\left ( \frac{y^2}{4}+\frac{1}{y^2} \right )+\frac{3}{4}\left ( x^2+y^2 \right )+2\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )\geq 2\sqrt{\frac{x^2}{4}.\frac{1}{x^2}}+2\sqrt{\frac{y^2}{4}.\frac{1}{y^2}}+\frac{3}{4}.4+2.2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=9$

Vậy $A_{\min}=9\Leftrightarrow x=y=\sqrt{2}$.

[Minhnguyenthe333]

Cho $x^2 + y^2 = 4 (x;y > 0)$

Tìm Min $A = (x + \frac{1}{y})^2 + (y + \frac{1}{x})^2$

$A=x^2+y^2+(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})+2(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\geq 4+1+4=9$ khi $x=y=\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 19-09-2015 - 20:41