Đến nội dung

Hình ảnh

CMR:$\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c}\geq 2\sqrt{a+b+c}$

* * * * * 1 Bình chọn hay

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Cho $a,b,c$ ko âm: $ab+bc+ca=1$

CMR:$\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c}\geq 2\sqrt{a+b+c}$


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#2
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

Cho $a,b,c$ ko âm: $ab+bc+ca=1$

CMR:$\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c}\geq 2\sqrt{a+b+c}$

Bạn có thể tham khảo các cách giải tại đây



#3
lovelyDevil

lovelyDevil

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết

ta có $VT=\sum a\sqrt{a^{2}+1} \geq \frac{1}{3}\sum a\sum \sqrt{a^{2}+1}\geq \frac{1}{3}(a+b+c)\sqrt{(a+b+c)^{2}+9}$

đến đây đặt a+b+c=x sau đó biến đổi tương đương là dc(chú ý>=3)



#4
haichau0401

haichau0401

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 214 Bài viết

ta có $VT=\sum a\sqrt{a^{2}+1} \geq \frac{1}{3}\sum a\sum \sqrt{a^{2}+1}\geq \frac{1}{3}(a+b+c)\sqrt{(a+b+c)^{2}+9}$

đến đây đặt a+b+c=x sau đó biến đổi tương đương là dc(chú ý>=3)

có sự nhầm lẫn ko bạn $\sqrt{a^{3} + a} = a\sqrt{a^{2} + 1}$ thì làm gì đúng :mellow:  :unsure:


Tiếc gì một  :like nếu bạn thấy hay  :icon6:  :like  :like  :like  (Xin chân thành cảm ơn)

                                                                                                                     

                                                                                                            @};-  @};-  @};- Ôn tập phương trình tại đây !!!


#5
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Cho $a,b,c$ ko âm: $ab+bc+ca=1$

CMR:$\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c}\geq 2\sqrt{a+b+c}$

 Áp dụng BĐT Schur : $$(a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)=4(a+b+c)$$ 

 Áp dụng BĐT Minkowski :

$$\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c}=\sqrt{a^3+a(ab+bc+ca)}+\sqrt{b^3+b(ab+bc+ca)}+\sqrt{c^3+c(ab+bc+ca)}$$

$$=\sqrt{a^2(a+b+c)+abc}+\sqrt{b^2(a+b+c)+abc}+\sqrt{c^2(a+b+c)+abc}$$

$$\geq \sqrt{\left [(a+b+c)\sqrt{a+b+c}\right ]^2+(3\sqrt{abc})^2}=\sqrt{(a+b+c)^3+9abc}\geq \sqrt{4(a+b+c)}=2\sqrt{a+b+c}$$

 Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt3}$ hoặc $a=b;c=0$ và các hoán vị


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 23-09-2015 - 13:08


#6
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

 Áp dụng BĐT Schur : $$(a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)=4(a+b+c)$$ 

 Áp dụng BĐT Minkowski :

$$\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c}=\sqrt{a^3+a(ab+bc+ca)}+\sqrt{b^3+b(ab+bc+ca)}+\sqrt{c^3+c(ab+bc+ca)}$$

$$=\sqrt{a^2(a+b+c)+abc}+\sqrt{b^2(a+b+c)+abc}+\sqrt{c^2(a+b+c)+abc}$$

$$\geq \sqrt{\left [(a+b+c)\sqrt{a+b+c}\right ]^2+(3\sqrt{abc})^2}=\sqrt{(a+b+c)^3+9abc}\geq \sqrt{4(a+b+c)}=2\sqrt{a+b+c}$$

 Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt3}$

Thực ra còn 1 dấu bằng nữa đó là a=b,c=0 cùng các hoán vị


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#7
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Bất đẳng thức chặt hơn vẫn đúng \[\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} \geqslant 2\sqrt{1+\frac{9abc}{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}},\] trong đó $a,\,b,\,c$ là các số thực không âm và $ab+bc+ca>0.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 24-09-2015 - 12:34

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#8
longatk08

longatk08

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết

Bất đẳng thức chặt hơn vẫn đúng \[\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} \geqslant 2\sqrt{1+\frac{9abc}{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}},\] trong đó $a,\,b,\,c$ là các số thực không âm và $ab+bc+ca>0.$

Do không có 2 số nào đồng thời bằng không nên KMTTQ giả sử $c=0$ thì BĐT trở thành:

 

$\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}\geq 2$

 

BĐT này hiển nhiên đúng với $a,b>0$. Xét trường hợp $c \neq 0$ ta giả sử $c=min${$a,b,c$} khi đó ta có BĐT phụ sau:

 

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}\geq 2\sqrt{\frac{a+b}{a+b+2c}}$

 

Lại có: $\frac{abc}{(a+b+c)(ab+bc+ac)}=\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)+abc}=\frac{1}{\frac{a+b}{c}(1+\frac{c}{a})(1+\frac{c}{b})+1}$

 

Mà $(1+\frac{c}{a})(1+\frac{c}{b})\geq (1+\frac{c}{\sqrt{ab}})^2\geq (1+\frac{2c}{a+b})^2$.Vậy nếu đặt $t=\frac{c}{a+b},t \in\left ( 0,\frac{1}{2} \right ]$ thì ta cần chứng minh BĐT sau là đúng.

 

$\frac{2}{\sqrt{t+1}}+\sqrt{t}-2\sqrt{1+\frac{9t}{8(1+2t)^2+8t}}\geq 0$

 

BĐT này thậm chí đúng với mọi $t>0$.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hay $a=b,c=0$ và các hoán vị.

 

Phép đặt $a=x^2,b=y^2,z=c^2$ và BĐT Holder cũng dẫn đến kết quả.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hay

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh