Cho $a,b,c$ ko âm: $ab+bc+ca=1$
CMR:$\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c}\geq 2\sqrt{a+b+c}$
Cho $a,b,c$ ko âm: $ab+bc+ca=1$
CMR:$\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c}\geq 2\sqrt{a+b+c}$
Cho $a,b,c$ ko âm: $ab+bc+ca=1$
CMR:$\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c}\geq 2\sqrt{a+b+c}$
Bạn có thể tham khảo các cách giải tại đây
ta có $VT=\sum a\sqrt{a^{2}+1} \geq \frac{1}{3}\sum a\sum \sqrt{a^{2}+1}\geq \frac{1}{3}(a+b+c)\sqrt{(a+b+c)^{2}+9}$
đến đây đặt a+b+c=x sau đó biến đổi tương đương là dc(chú ý>=3)
ta có $VT=\sum a\sqrt{a^{2}+1} \geq \frac{1}{3}\sum a\sum \sqrt{a^{2}+1}\geq \frac{1}{3}(a+b+c)\sqrt{(a+b+c)^{2}+9}$
đến đây đặt a+b+c=x sau đó biến đổi tương đương là dc(chú ý>=3)
có sự nhầm lẫn ko bạn $\sqrt{a^{3} + a} = a\sqrt{a^{2} + 1}$ thì làm gì đúng
Cho $a,b,c$ ko âm: $ab+bc+ca=1$
CMR:$\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c}\geq 2\sqrt{a+b+c}$
Áp dụng BĐT Schur : $$(a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)=4(a+b+c)$$
Áp dụng BĐT Minkowski :
$$\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c}=\sqrt{a^3+a(ab+bc+ca)}+\sqrt{b^3+b(ab+bc+ca)}+\sqrt{c^3+c(ab+bc+ca)}$$
$$=\sqrt{a^2(a+b+c)+abc}+\sqrt{b^2(a+b+c)+abc}+\sqrt{c^2(a+b+c)+abc}$$
$$\geq \sqrt{\left [(a+b+c)\sqrt{a+b+c}\right ]^2+(3\sqrt{abc})^2}=\sqrt{(a+b+c)^3+9abc}\geq \sqrt{4(a+b+c)}=2\sqrt{a+b+c}$$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt3}$ hoặc $a=b;c=0$ và các hoán vị
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 23-09-2015 - 13:08
Áp dụng BĐT Schur : $$(a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)=4(a+b+c)$$
Áp dụng BĐT Minkowski :
$$\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c}=\sqrt{a^3+a(ab+bc+ca)}+\sqrt{b^3+b(ab+bc+ca)}+\sqrt{c^3+c(ab+bc+ca)}$$
$$=\sqrt{a^2(a+b+c)+abc}+\sqrt{b^2(a+b+c)+abc}+\sqrt{c^2(a+b+c)+abc}$$
$$\geq \sqrt{\left [(a+b+c)\sqrt{a+b+c}\right ]^2+(3\sqrt{abc})^2}=\sqrt{(a+b+c)^3+9abc}\geq \sqrt{4(a+b+c)}=2\sqrt{a+b+c}$$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt3}$
Thực ra còn 1 dấu bằng nữa đó là a=b,c=0 cùng các hoán vị
Bất đẳng thức chặt hơn vẫn đúng \[\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} \geqslant 2\sqrt{1+\frac{9abc}{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}},\] trong đó $a,\,b,\,c$ là các số thực không âm và $ab+bc+ca>0.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 24-09-2015 - 12:34
Bất đẳng thức chặt hơn vẫn đúng \[\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} \geqslant 2\sqrt{1+\frac{9abc}{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}},\] trong đó $a,\,b,\,c$ là các số thực không âm và $ab+bc+ca>0.$
Do không có 2 số nào đồng thời bằng không nên KMTTQ giả sử $c=0$ thì BĐT trở thành:
$\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}\geq 2$
BĐT này hiển nhiên đúng với $a,b>0$. Xét trường hợp $c \neq 0$ ta giả sử $c=min${$a,b,c$} khi đó ta có BĐT phụ sau:
$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}\geq 2\sqrt{\frac{a+b}{a+b+2c}}$
Lại có: $\frac{abc}{(a+b+c)(ab+bc+ac)}=\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)+abc}=\frac{1}{\frac{a+b}{c}(1+\frac{c}{a})(1+\frac{c}{b})+1}$
Mà $(1+\frac{c}{a})(1+\frac{c}{b})\geq (1+\frac{c}{\sqrt{ab}})^2\geq (1+\frac{2c}{a+b})^2$.Vậy nếu đặt $t=\frac{c}{a+b},t \in\left ( 0,\frac{1}{2} \right ]$ thì ta cần chứng minh BĐT sau là đúng.
$\frac{2}{\sqrt{t+1}}+\sqrt{t}-2\sqrt{1+\frac{9t}{8(1+2t)^2+8t}}\geq 0$
BĐT này thậm chí đúng với mọi $t>0$.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hay $a=b,c=0$ và các hoán vị.
Phép đặt $a=x^2,b=y^2,z=c^2$ và BĐT Holder cũng dẫn đến kết quả.
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
vmo vĩnh phúc 2022Bắt đầu bởi nhatvinh2018, 27-12-2021 hay |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
vmo ninh thuận 2022Bắt đầu bởi nhatvinh2018, 10-12-2021 hay |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Lượng giác →
Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác →
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CỰC HAY VÀ KHÓBắt đầu bởi baonghi, 18-07-2019 ptlg, hay, khó, lượng giác và . |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Giúp BĐT nhéBắt đầu bởi VuTroc, 28-05-2018 bđt hay, hay, bđt |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
$A=x^2y^3+y^2z^3+z^2x^3+(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2$Bắt đầu bởi meoluoi123, 13-10-2017 cực trị, bất đẳng thức và . |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh