Đến nội dung

Hình ảnh

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC LỚP 10 NĂM 2015 THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO ( VÒNG 1 )


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1
devilloveangel

devilloveangel

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

TRƯỜNG THPT CHUYÊN                                     KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC ( VÒNG 1 ) 

    TRẦN HƯNG ĐẠO                                             MÔN : TOÁN ; KHỐI : 10 ; THỜI GIAN : 120 PHÚT 

 

 

Câu 1: (5.0 điểm)

Giải phương trình : $8x^3-13x^2+7x=(x+1)\sqrt[3]{3x^2-2}$

 

Câu 2: (5.0 điểm)

Cho đường tròn ($\omega$ ) và dây cung BD cố định , điểm A chuyển động trên ($\omega$ ) sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn ($\omega$ ) cắt đường thẳng BD tại E ( E khác A ) , từ E dựng đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ($\omega$ ) tại điểm C ( C khác A ) , gọi ( $\alpha$ ) là đường tròn qua A và tiếp xúc với BC tại B , ( $\beta$ ) là đường tròn qua A và tiếp xúc với DC tại D , CMR : ($\alpha$) và ($\beta$) cùng đi qua một điểm cố định khi A di động trên ($\omega$) 

 

Câu 3: (5.0 điểm)

Cho ba số thực a,b,c thỏa : $0<a\leq 2$ ; $0<b\leq 2$ ; $0<c\leq 2$                             

CMR : $4[(abc+1)(a+b+c) + 3(ab+bc+ca)] \geq 45abc$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 24-09-2015 - 21:08

Imagination rules the world.


#2
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài 1. Xét $x=-1$ không thỏa mãn. Xét $x\ne -1$ thì chia cả hai vế cho $x+1$ ta được:

$$\dfrac{8x^3-13x^2+7x}{x+1}=\sqrt[3]{3x^2-2}\Leftrightarrow \dfrac{8x^3-15x^2+6x+1}{x+1}=\dfrac{-(8x^3-15x^2+6x+1)}{\sqrt[3]{(3x^2-2)^2}+(2x-1)\sqrt[3]{3x^2-2}+(2x-1)^2}$$

Do đó ta có nghiệm $x=1$ hoặc $x=\dfrac{-1}{8}$ hoặc $2a^2+2ab+2b^2+b+1=0$ với $a=\sqrt[3]{3x^2-2}, b=2x-1$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#3
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài 3. Đặt $a=2x, b=2y, c=2z$ thì bất đẳng thức trở thành: $8xyz(x+y+z)+x+y+z+6(xy+yz+zx)\geqslant 45xyz$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $VT-VP\geqslant 24t^4+18t^2+3t-45t^3\geqslant 0$ với $t^3=abc$

Do đó ta có điều phải chứng minh.

P.s. Không ngờ hồi chiều làm đết được câu này -_- ngay đúng sở trường -_-


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#4
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

 

 

Câu 3: (5.0 điểm)

Cho ba số thực a,b,c thỏa : $0<a\leq 2$ ; $0<b\leq 2$ ; $0<c\leq 2$                             

CMR : $4[(abc+1)(a+b+c) + 3(ab+bc+ca)] \geq 45abc$ 

BĐT cần chứng minh tương đương với:$4\left ( 1+\frac{1}{abc} \right )(a+b+c)+12\left ( \frac{ab+bc+ac}{abc} \right )\geq 45$

 

$\Leftrightarrow 4(a+b+c)+4\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \right )+12\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 45$

 

Thật vậy:Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có:$4(a+b+c)+4\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \right )+12\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 12\sqrt[3]{abc}+\frac{12}{\sqrt[3]{(abc)^2}}+\frac{36}{\sqrt[3]{abc}}$

 

Đặt  $t=\sqrt[3]{abc}$

 

Khi đó:$12\sqrt[3]{abc}+\frac{12}{\sqrt[3]{(abc)^2}}+\frac{36}{\sqrt[3]{abc}}=12t+\frac{12}{t^2}+\frac{36}{t}=\frac{12t^3+36t+12}{t^2}$

 

Xét hiệu:$\frac{12t^3+36t+12}{t^2}-45=\frac{12t^3-45t^2+36t+12}{t^2}=\frac{(t-2)^2(12t+3)}{t^2}\geq 0$

 

$\Rightarrow 4(a+b+c)+4\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \right )+12\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 45$

 

$\Rightarrow \mathbb{ĐPCM}$



#5
hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết

Bài $1$ dùng theo phương pháp hệ số bất định cũng ra.

Đặt: $\sqrt[3]{3x^2-2}=ax+b$


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#6
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

 

 

Câu 3: (5.0 điểm)

Cho ba số thực a,b,c thỏa : $0<a\leq 2$ ; $0<b\leq 2$ ; $0<c\leq 2$                             

CMR : $4[(abc+1)(a+b+c) + 3(ab+bc+ca)] \geq 45abc$ 

Câu 3:  Chia abc xuống, dùng AM-GM cho 45 số dựa vào điểm rơi a=b=c=2



#7
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

BĐT cần chứng minh tương đương với:$4\left ( 1+\frac{1}{abc} \right )(a+b+c)+12\left ( \frac{ab+bc+ac}{abc} \right )\geq 45$

 

$\Leftrightarrow 4(a+b+c)+4\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \right )+12\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 45$

 

Thật vậy:Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có:$4(a+b+c)+4\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \right )+12\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 12\sqrt[3]{abc}+\frac{12}{\sqrt[3]{(abc)^2}}+\frac{36}{\sqrt[3]{abc}}$

 

Đặt  $t=\sqrt[3]{abc}$

 

Khi đó:$12\sqrt[3]{abc}+\frac{12}{\sqrt[3]{(abc)^2}}+\frac{36}{\sqrt[3]{abc}}=12t+\frac{12}{t^2}+\frac{36}{t}=\frac{12t^3+36t+12}{t^2}$

 

Xét hiệu:$\frac{12t^3+36t+12}{t^2}-45=\frac{12t^3-45t^2+36t+12}{t^2}=\frac{(t-2)^2(12t+3)}{t^2}\geq 0$

 

$\Rightarrow 4(a+b+c)+4\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \right )+12\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 45$

 

$\Rightarrow \mathbb{ĐPCM}$

cũng dùng ý tưởng như bạn. Xét hàm rồi chứng minh >=0 bằng phân tích nhân tử. Chứ không dùng bđt như ban



#8
Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết

nữa đi bạn



#9
Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết

cũng dùng ý tưởng như bạn. Xét hàm rồi chứng minh >=0 bằng phân tích nhân tử. Chứ không dùng bđt như ban

làm cụ thể đi bạn



#10
Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết

TRƯỜNG THPT CHUYÊN                                     KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC ( VÒNG 1 ) 

    TRẦN HƯNG ĐẠO                                             MÔN : TOÁN ; KHỐI : 10 ; THỜI GIAN : 120 PHÚT 

 

 

Câu 1: (5.0 điểm)

Giải phương trình : $8x^3-13x^2+7x=(x+1)\sqrt[3]{3x^2-2}$

 

Câu 2: (5.0 điểm)

Cho đường tròn ($\omega$ ) và dây cung BD cố định , điểm A chuyển động trên ($\omega$ ) sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn ($\omega$ ) cắt đường thẳng BD tại E ( E khác A ) , từ E dựng đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ($\omega$ ) tại điểm C ( C khác A ) , gọi ( $\alpha$ ) là đường tròn qua A và tiếp xúc với BC tại B , ( $\beta$ ) là đường tròn qua A và tiếp xúc với DC tại D , CMR : ($\alpha$) và ($\beta$) cùng đi qua một điểm cố định khi A di động trên ($\omega$) 

 

Câu 3: (5.0 điểm)

Cho ba số thực a,b,c thỏa : $0<a\leq 2$ ; $0<b\leq 2$ ; $0<c\leq 2$                             

CMR : $4[(abc+1)(a+b+c) + 3(ab+bc+ca)] \geq 45abc$ 

có ai giải bài hình không?



#11
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

làm cụ thể đi bạn

Chỉ cần dùng AM-GM. Đưa vế trái về toàn biến theo a.b.c, Sau đó xét hàm. Phân tích nhân tích. Là ra đpcm



#12
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

có ai giải bài hình không?

Bài hình dùng hàng điểm điều hòa nha bạn. Mình làm ra mà không biết đánh latex nên không up được. Mình thấy đề này làm trong 2 tiếng thì hơi khó. Mình bí bài pt



#13
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài hình chỉ cần dùng biến đổi góc chút là ra. 


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#14
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

chả lẽ bạn cũng không biết gõ latex như supperpower hay sao mà không giải cụ thể vậy?

 

Mình khá bận nên không lên được, bài này có hai cách giải nhé bạn. Cách của mình là biến đổi góc: Gọi $M$ là trung điểm $BD$ rồi biến đổi góc (góc nội tiếp - góc tiếp tuyến - góc phụ - góc nội tiếp - góc phụ) để chứng minh.

Cách thứ hai là đáp án chính thức của thầy giáo dạy hình: Gọi $M$ là giao của $(\alpha)$ và BD. Dùng Ptolemy và $\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{CB}{CD}$ để có được $2BM = BD$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh