Chủ đề này có 4 trả lời

[Hoangtheson2611]

Bài 1 : Cho x;y;z là các số thực thỏa mãn x+y+z=5 và xy+yz+xz=8 . CMR : 1 $\leqslant x\leqslant \frac{7}{3}$

Bài 2 : Cho a;b;c > 0 và a+b+c=3 . CMR : (a+b)(b+c)(a+c) $\geqslant$ (ab+c)(bc+a)(ca+b)

Bài 3 : Cho a;b;c thực dương . CMR : $\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}} \leqslant 1$

Bài 4 : Cho a;b;c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2} = 2(ab+bc+ac)$ và abc khác 0 . 

           CMR : $\sum \frac{|a-b|}{\sqrt{2ab+c^{2}}}$ $\geqslant 2$

[haichau0401]

Bài 1 : Cho x;y;z là các số thực thỏa mãn x+y+z=5 và xy+yz+xz=8 . CMR : 1 $\leqslant x\leqslant \frac{7}{3}$

Bài 2 : Cho a;b;c > 0 và a+b+c=3 . CMR : (a+b)(b+c)(a+c) $\geqslant$ (ab+c)(bc+a)(ca+b)

Bài 3 : Cho a;b;c thực dương . CMR : $\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}} \leqslant 1$

Bài 4 : Cho a;b;c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2} = 2(ab+bc+ac)$ và abc khác 0 . 

           CMR : $\sum \frac{|a-b|}{\sqrt{2ab+c^{2}}}$ $\geqslant 2$

bài 1: Ta có x + y + z = 5 tương đương với y + z = 5 - x

Ta lại có: $8 = xy + yz + zx = x(y + z) + yz \leq x(y + z) + \frac{(y + z)^{2}}{4} = x(5 - x) + \frac{(5 - x)^{2}}{4}$

Đến đây khai triển ra là ok con bê

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haichau0401: 24-09-2015 - 21:45

[royal1534]

 

Bài 2 : Cho a;b;c > 0 và a+b+c=3 . CMR : (a+b)(b+c)(a+c) $\geqslant$ (ab+c)(bc+a)(ca+b)

 

Ta có $(ab+c)(bc+a) \leq \frac{(ab+bc+a+c)^{2}}{4}=\frac{(a+c)^{2}(1+b)^{2}}{4} $ (BĐT AM-GM)

Tương tự $(bc+a)(ca+b) \leq \frac{(c+1)^{2}(a+b)^{2}}{4}$

       $(ca+b)(ab+c) \leq \frac{(a+1)^{2}(b+c)^{2}}{4}$ 

$\rightarrow (ab+c)^{2}(bc+a)^{2}(ca+b)^{2} \leq \frac{(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}(a+1)^{2}(b+1)^{2}(c+1)^{2}}{64}$

Ta cần chứng minh $(a+1)^{2}(b+1)^{2}(c+1)^{2} \leq 64$ 

          $\leftrightarrow (a+1)(b+1)(c+1) \leq 8$ 

Áp dụng bđt AM-GM ta có $(a+1)(b+1)(c+1) \leq \frac{(a+b+c+3)^{3}}{27}=8 $

$\rightarrow ĐPCM$

[royal1534]

Bài 1 : Cho x;y;z là các số thực thỏa mãn x+y+z=5 và xy+yz+xz=8 . CMR : 1 $\leqslant x\leqslant \frac{7}{3}$

Bài 2 : Cho a;b;c > 0 và a+b+c=3 . CMR : (a+b)(b+c)(a+c) $\geqslant$ (ab+c)(bc+a)(ca+b)

Bài 3 : Cho a;b;c thực dương . CMR : $\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}} \leqslant 1$

Bài 4 : Cho a;b;c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2} = 2(ab+bc+ac)$ và abc khác 0 . 

           CMR : $\sum \frac{|a-b|}{\sqrt{2ab+c^{2}}}$ $\geqslant 2$

Ta có $\frac{a-b}{\sqrt{2ab+c^{2}}}=\frac{(a-b)^{2}}{\sqrt{(a-b)^{2}.(2ab+c^{2})}}=\frac{(a-b)^{2}}{\sqrt{(a^{2}-2ab+b^{2})(2ab+c^{2})}}\geq \frac{2(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ (BĐT AM-GM)

$\rightarrow \sum \frac{a-b}{\sqrt{2ab+c^{2}}} \geq \sum \frac{2(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\frac{4(a^{2}+b^{2}+c^{2})-4(ab+bc+ca)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 25-09-2015 - 11:58

[Gachdptrai12]

giải giúp bài này 

cho $x,y,z\epsilon [0;2]$ 

Tìm max P=$\frac{1}{8}[(2-x)(2-y)(4-z)+\frac{8x}{y+z+2}+\frac{8y}{x+z+2}+\frac{8z}{x+y+2}]$