Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), 2 đường chéo cắt nhau tại I, gọi M là giao của (AOB) và (COD), N là giao của (AOD) và (BOC)
CMR: M,I,O,N đồng viên
#2
Đã gửi 25-09-2015 - 21:17
Duong Nhi
-
- Thành viên
-
- 186 Bài viết
Trung sĩ
Ta có: $\angle DNC = \angle DNO +\angle ONC=\angle DAO+\angle OBC=\frac{180 - 2\angle ACD}{2}+\frac{180-2\angle BCD }{2}= 180 -(\angle ACD+\angle BCD)=180-\angle AID=\angle DIC$
=> tứ giác INCD nội tiếp=> $\angle IND = \angle ICD$.
Chứng minh tương tự có: tứ giác IBCM nội tiếp => $\angle IMB = \angle ICB$.
Ta có: $\angle DNO=\angle DAO$ ( tứ giác DANO nội tiếp); $\angle BMO=\angle OAB$ ( tứ giác ABOM nội tiếp)
Xét tứ giác INMO có: $\angle IND + \angle IMB+\angle DNO+\angle BMO = \angle ICD+\angle ICB+\angle DAO+\angle OAB=180$.
=> I,N,M,O đồng viên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duong Nhi: 25-09-2015 - 21:23
- Dung Du Duong và Hoang Nhat Tuan thích
#3
Đã gửi 25-09-2015 - 21:19
Duong Nhi
-
- Thành viên
-
- 186 Bài viết
Trung sĩ
#4
Đã gửi 26-09-2015 - 19:58
Dung Du Duong
-
- Thành viên
-
- 425 Bài viết
Sĩ quan
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), 2 đường chéo cắt nhau tại I, gọi M là giao của (AOB) và (COD), N là giao của (AOD) và (BOC)
CMR: M,I,O,N đồng viên
Cách 2: Dùng cực và đối cực (bạn tự vẽ hình nha 
)
Kéo dài AB và CD cắt nhau tại J, kẻ đường kính JO cắt (O) tại P và Q
Có JP.JQ=JA.JB=JM.JO (theo các tứ giác nội tiếp)
==> Áp dụng hệ thức Maclaurin về hàng điểm điều hòa
==> (JOPQ)= -1
==> M thuộc đường đối cực của J với (O) (1)
Mà ta có I thuộc đường đối cực của J với (O) (cơ bản) (2)
Nên từ (1) và (2) ==> IM $\bot$ OM
CMTT: IN $\bot$ ON
==> tứ giác nội tiếp (đpcm)
P/s: đây là 1 bài cơ bản áp dụng đối cực
Bạn Duong Nhi có cách này mình chưa thấy bao h 
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 27-09-2015 - 09:40
- Duong Nhi yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
