Hội trường có 100 ghế ngồi được đánh số và 100 khách cũng được đánh số giống trên ghế.Tính xác suất để cả 100 khách ngồi sai vị trí của mình?
Hội trường có 100 ghế ngồi được đánh số và 100 khách cũng được đánh số giống trên ghế.Tính xác suất để cả 100 khách ngồi sai vị trí của mình?
#1
Posted 26-09-2015 - 12:29
#2
Posted 17-10-2015 - 23:56
Giải
Đặt: $\text{A}_i$: "Người thứ i ngồi đúng vị trí". (i = 1,2....100)
A:" Có ít nhất 1 người ngồi đúng vị trí của mình".
Ta có: $P(A) = P(A_1 + A_2 +... + A_n) = \sum_{i = 1}^{100}{P(A_i)} - \sum_{1 \leq i < j \leq 100}{P(A_iA_j)} + ... - P(A_1.A_2....A_n) $
Ta tính lần lượt:
$P(A_i) = \dfrac{1.99!}{100!} = \dfrac{1}{100} \Rightarrow \sum_{i = 1}^{100}{P(A_i)} = 100.\dfrac{1}{100} = 1$
$P(A_iA_j) = P(A_i)P(A_i/A_j) = \dfrac{1}{100}.\dfrac{1.98!}{99!} = \dfrac{1}{99.100}$
$\Rightarrow \sum_{1 \leq i < j \leq 100}{P(A_iA_j)} = C_{100}^2.\dfrac{1}{99.100} = \dfrac{1}{2!}$
....
$P(A_1.A_2...A_{100}) = \dfrac{1}{100!}$
Như vậy:
$P(A) = 1 - \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} - .... - \dfrac{1}{100!}$
Do đó, xác suất cần tìm là:
$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = \dfrac{1}{2!} - \dfrac{1}{3!} + .... + \dfrac{1}{100!}$
- perfectstrong likes this
#3
Posted 14-06-2023 - 17:21
Thiết nghĩ cần tiếp nối để lời giải được trọn vẹn hơn.
Giải
Đặt: $\text{A}_i$: "Người thứ i ngồi đúng vị trí". (i = 1,2....100)
A:" Có ít nhất 1 người ngồi đúng vị trí của mình".
Ta có: $P(A) = P(A_1 + A_2 +... + A_n) = \sum_{i = 1}^{100}{P(A_i)} - \sum_{1 \leq i < j \leq 100}{P(A_iA_j)} + ... - P(A_1.A_2....A_n) $
Ta tính lần lượt:
$P(A_i) = \dfrac{1.99!}{100!} = \dfrac{1}{100} \Rightarrow \sum_{i = 1}^{100}{P(A_i)} = 100.\dfrac{1}{100} = 1$
$P(A_iA_j) = P(A_i)P(A_i/A_j) = \dfrac{1}{100}.\dfrac{1.98!}{99!} = \dfrac{1}{99.100}$
$\Rightarrow \sum_{1 \leq i < j \leq 100}{P(A_iA_j)} = C_{100}^2.\dfrac{1}{99.100} = \dfrac{1}{2!}$
....
$P(A_1.A_2...A_{100}) = \dfrac{1}{100!}$
Như vậy:
$P(A) = 1 - \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} - .... - \dfrac{1}{100!}$
Do đó, xác suất cần tìm là:
$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = \dfrac{1}{2!} - \dfrac{1}{3!} + .... + \dfrac{1}{100!}$
(Cont.)
...Như vậy, tổng quát ta có:
$P \left ( \overline{A} \right )=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}$ $ (*)$
Chuỗi này là $(n+1)$ số hạng đầu của $\sum_{k=0}^{\infty }\frac {(-1)^k}{k!}$ là chuỗi lũy thừa của hàm $e^x$ khi $x=-1$. Chuỗi này hội tụ rất nhanh. Hiệu giữa $e^{-1} $ và $(*)$ luôn luôn nhỏ hơn $\frac {1}{n!}$. Thí dụ, $e^{-1}=0,367879....$và với $n=8$, thì $(*)$ bằng $0,367888$ ( với $n=5 $ thì bằng $0,366$).
Do đó, với $n$ không quá nhỏ thì xác suất cần tìm là $\boldsymbol {\approx e^{-1} \approx 0,367879...} $ (không phụ thuộc vào n).
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
Also tagged with one or more of these keywords: xác suất - thống kê
Toán Đại cương →
Xác suất - Thống kê →
Nếu mua ngẫu nhiên 3 linh kiện, tìm xác suất có 2 linh kiện bị khuyết tậtStarted by dungdo24, 01-01-2017 toán đại cương and 1 more... |
|
|||
Toán Đại cương →
Xác suất - Thống kê →
toán xác suất ( Help me ! )Started by phamvantol, 23-05-2016 xác suất - thống kê |
|
|||
Toán Đại cương →
Xác suất - Thống kê →
Hãy cho biết độ nhạy có gần độ đặc hiệu ?Started by yeutoan208, 14-10-2014 xác suất - thống kê |
|
|||
Toán Đại cương →
Xác suất - Thống kê →
Cần lấy một mẫu n bằng bao nhiêu.Started by yeutoan208, 20-09-2014 xác suất - thống kê |
|
|||
Toán Đại cương →
Xác suất - Thống kê →
Tính liều chết trung bình của số liệu trên.Started by yeutoan208, 11-09-2014 xác suất - thống kê |
|
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users